ПРИБЛИЖЕНИЕ И ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

ПРИБЛИЖЕНИЕ И ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ раздел
теории функций, посвящённый изучению вопросов приближённого представления
функций.

Приближение функций -нахождение для данной
функции f функции g из нек-poro определённого класса (напр.,
среди алгебраич. многочленов заданной степени), в том или ином смысле близкой
к f, дающей её приближённое представление. Существует много разных
вариантов задачи о приближении функций в зависимости от того, какие функции
используются для приближения, как ищется приближающая функция g, как
понимается близость функций f и д. Интерполирование функций
- частный случай задачи приближения, когда требуется, чтобы в определённых
точках (узлах интерполирования) совпадали значения функции f и приближающей
её функции д, а в более общем случае - и значения нек-рых их производных.

Для оценки близости исходной функции f
и
приближающей её функции д используются в зависимости от рассматриваемой
задачи метрики различных функциональных пространств. Обычно это
метрики пространств непрерывных функций С и функций, интегрируемых с р-й
степенью,
Lр>=1,
в к-рых расстояние между функциями f и gопределяется (для функций, заданных
на отреяке [a, b] по формулам

Наиболее часто встречающейся и хорошо изученной
является задача о приближении функций полиномами, т. е. выражениями вида

где ффункции, а аапроизвольные
числа. Обычно это алгебраич. многочлены

или тригонометрич. полиномы

Рассматриваются также полиномы по ортогональным
многочленам, по собственным функциям краевых задач и т. п. Другим классич.
средством приближения являются рациональные дроби P(x)/Q(x), где
в качестве Р и О берутся алгебраич. многочлены заданной степени.

В последнее время (60-70-е гг. 20 в.) значит.
развитие получило приближение т. н. сплайн-функциями (сплайнами). Характерным
их примером являются кубич. сплайн-функции, определяемые след, образом.
Отрезок [а, b] разбивается точками а = х<х<...<х=
b,
на каждом отрезке [xкубическая сплайн-функция
является алгебраич. многочленом третьей степени, причём эти многочлены
подобраны так, что на всём отрезке [а, b] непрерывны сама сплайн-функция
и её первая и вторая производные. Оставшиеся свободными параметры могут
быть использованы, напр., для того чтобы сплайн-функция интерполировала
в узлах хприближаемую функцию. Улучшение приближения
достигается за счёт увеличения числа узлов xи правильного
их расположения на отрезке [а, b]. Сплайн-функции оказались удобными
в вычислит. математике, с их помощью удалось решить также нек-рые задачи
теории функций.

Приближённые представления функций, а также
сами функции на основе их приближённых представлений изучает теория приближений
функций (употребляются также названия теория аппроксимации функций и конструктивная
теория функций). К теории приближений функций обычно относят также задачи
о приближении элементов в банаховых и общих метрич. пространствах.

Теория приближений функций берёт начало
от работ П. Л. Чебышева. Он ввёл одно из осн. понятий теории - понятие
наилучшего приближения функции полиномами и получил ряд результатов о наилучших
приближениях. Наилучшим приближением непрерывной функции f(x)

где минимум берётся по всем числам a. . ., аПолином, для к-рого достигается этот минимум,
наз. полиномом наилучшего приближения (для других метрик определения аналогичны).
Чебышев установил, что наилучшее приближение функции xⁿ⁺¹на
отрезке [-1, 1] в метрике С алгебраич. многочленами степени п
равно
1/2ⁿ а многочлен наилучшего приближения таков, что для него

След. теорема Чебышева указывает характеристич.
свойство полиномов наилучшего приближения в пространстве непрерывных функций:
алгебраич. мно-

мает максимальное значение своего модуля
с последовательно чередующимися знаками.

Одним из первых результатов теории приближений
является также теорема Вейерштрасса, согласно к-рой каждую непрерывную
функцию можно приблизить в метрике С как угодно хорошо алгебраич. многочленами
достаточно высокой степени.

С нач. 20 в. началось систематич. исследование
поведения при п -> БЕСКОНЕЧНОСТЬ последовательности E- наилучших приближений функции f алгебраическими (или тригонометрич.)
многочленами. С одной стороны, выясняется скорость стремления к нулю величин
Eв
зависимости от свойств функции (т. н. прямые теоремы теории приближений),
а с другой - изучаются свойства функции по последовательности её наилучших
приближений (обратные теоремы теории приближений). В ряде важных случаев
здесь получена полная характеристика свойств функций. Приведём две такие
теоремы.

Для того чтобы функция f была аналитической
на отрезке (т. е. в каждой точке этого отрезка представлялась степенным
рядом, равномерно сходящимся к ней в нек-рой окрестности этой точки), необходимо
и достаточно, чтобы для последовательности её наилучших приближений алгебраич.
многочленами выполнялась оценка

где q<1 и Л - нек-рые положительные
числа, не зависящие от п (теорема С. Н. Бернштейна).

Для того чтобы функция f периода
2п имела производную порядка r, r -= 0, 1, 2, . . . , удовлетворяющую
условию

|f^(r)> (x + h) -
f^(r)
(x) | <=M | h |^a, 0 < а < 1,
М
- нек-рое положительное число, или условию

(в этом случае a = 1), необходимо
и достаточно, чтобы для наилучших приближений функции f тригонометрич.
полиномами была справедлива оценка

где А - нек-рое положительное число,
не зависящее от п. В этом утверждении прямая теорема была в основном
получена Д. Джексоном (США), а обратная является результатом исследований
С. Н. Бернштейна, Ш. Ж. Ла Балле Пуссена и А. Зигмунда (США).
Характеристика подобных классов функций, заданных на отрезке, в терминах
наилучших приближений алгебраич. многочленами оказалась невозможной. Её
удалось получить, привлекая к рассмотрению приближение функций с улучшением
порядка приближения вблизи концов отрезка.

Возможность характеризовать классы функций
с помощью приближений их полиномами нашла приложение в ряде вопросов математического
анализа. Развивая исследования по наилучшим приближениям функций многих
переменных полиномами, С. М. Никольский построил теорию вложений
важных для анализа классов дифференцируемых функций многих переменных,
в которой имеют место не только прямые, но и полностью обращающие их обратные
теоремы.

Для приближений в метрике Lполином
наилучшего приближения может быть легко построен. Для других пространств
нахождение полиномов наилучшего приближения является трудной задачей и
её удаётся решить только в отдельных случаях. Это привело к разработке
разного рода алгоритмов для приближённого нахождения полиномов наилучшего
приближения.

Трудность нахождения полиномов наилучшего
приближения отчасти объясняется тем, что оператор, сопоставляющий каждой
функции её полином наилучшего приближения, не является линейным: полином
наилучшего приближения для суммы f + g не обязательно равен сумме
полиномов наилучшего приближения функций f к g. Поэтому возникла
задача изучения (по возможности простых) линейных операторов, сопоставляющих
каждой функции полином, дающий хорошее приближение. Напр., для перио-дич.
функции f(x) можно брать частные суммы её ряда Фурье Sx). При этом справедлива оценка (теорема А. Лебега)

где Lчисла, растущие
при n->БЕСКОНЕЧНОСТЬ как (4/п²)lnn. Они получили
название констант Лебега. Эта оценка показывает, что полиномы Sдоставляют
приближение, не очень сильно отличающееся от наилучшего. Подобная оценка
имеет место и для приближений интерполяционными тригонометрич. полиномами
с равноотстоящими узлами интерполирования, а также для приближений интерполяционными
алгебраич. многочленами на от-

k = 1, 2, ..., п, т. е. в
нулях полинома Чебышева cos п arc cos x. Для основных встречающихся
в анализе классов функций известны такие линейные операторы, построенные
с помощью рядов Фурье или на основе интерполяц. полиномов, что значениями
этих операторов являются полиномы, дающие на классе тот же порядок убывания
приближений при n->БЕСКОНЕЧНОСТЬ, что и наилучшие приближения.

А. Н. Колмогоров начал изучение
нового вопроса теории приближений -задачи о нахождении при фиксированном
п
такой
системы функций ф1, . . ., фn, для к-рой наилучшие приближения функций
заданного класса

меньшими (т. н. задача о поперечнике класса
функций). В этом направлении в дальнейшем было выяснено, напр., что -для
ряда важных классов периодич. функций наилучшими в указанном смысле системами
являются тригонометрич. полиномы.

Теория приближений функций является одним
из наиболее интенсивно разрабатываемых направлений в теории функций. Идеи
и методы теории приближений являются отправной точкой исследования в ряде
вопросов вычислит. математики. С 1968 в США издаётся специализированный
журнал "Journal of Approximation Theory".

См. также Приближение функций комплексного
переменного.

Лит.: Монографии.< Ахиезер
Н. И., Лекции по теории аппроксимации, 2 изд., М., 1965; Гончаров В. Л.,
Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954; Натансон
И. П., Конструктивная теория функций, М.-Л., 1949; Никольский С. М., Приближение
функций многих переменных и теоремы вложения, М., 1969; Тиман А. Ф., Теория
приближения функций действительного переменного, М., 1960.

Обзоры. Математика в СССР за тридцать лет.
1917 - 1947, М.-Л., 1948, с. 288 - 318; Математика в СССР за сорок лет.
1917 - 1957, т. 1, М., 1959, с. 295 - 379; История отечественной математики,
т. 3, К., 1968, с. 568 -588. С. А. Теляковский.