ЛАПЛАСА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

ЛАПЛАСА ПРЕОБРАЗОВАНИЕ преобразование,
переводящее функцию f(t) действительного переменного

называемую "оригиналом", в функцию

<
(1)

комплексного переменного



Под Л. п. понимают также не только
само преобразование, но и его результат - функцию F(p). Интеграл в правой
части формулы (1) наз. интегралом Лапласа. Он был рассмотрен П. Лапласом
в ряде работ, к-рые объединены в его книге "Аналитическая теория вероятностей",
вышедшей в 1812. Значительно раньше (в 1737) такие интегралы применял к
решению дифференциальных уравнений Л. Эйлер. При нек-рых условиях, указанных
ниже, Л. п. определяет функцию f(0 однозначно, в простейших случаях - rib
формуле обращения:

Л. п. является линейным функциональным
преобразованием. Из числа основных формул Л. п. можно отметить следующие:
Л.



п. в сочетании с формулой (2) его
обращения применяется к интегрированию дифференциальных уравнений. В частности,
в силу свойства (1) и линейности, Л. п. решения обыкновенного линейного
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами удовлетворяет
алгебраич. уравнению 1-й степени и может быть, следовательно, легко найдено.Так,
если, напр.,





и



то



и



откуда


:

Многочисл. задачи электротехники,
гидродинамики, механики, теплопроводности эффективно решаются методами,
использующими Л. п. Л. п. нашло особенно широкое применение в обосновании
операционного исчисления, в к-ром обычно вместо Л. п. F(p) вводится "изображение"
оригинала f(?)- функция pF(p).

Современная общая теория Л.п. строится
на основе интегрирования в смысле Лебега (см. Интеграл). Для применимо*
сти Л. п. к функции f(t) необходимо, чтобы f(t) была интегрируема в смысле
Лебега на любом конечном интервале <(0,?), ?>0 и интеграл (1) для
неё сходился хотя бы в одной точке ро = оо + г'те. Если интеграл (1) сходится
в точнее ро, то он сходится ве всех точках р, для к-рых Re (р-ро) >0. Т.о.,
если интеграл (1) сходится хотя бы в одной точке плоскости ро, то либо
он сходится во всей плоскости, либо существует такое число ачто при Rej">aрасходится. Число ov наз. абсциссой сходимости интеграла Лапласа. F(p)
- аналитическая функция в полуплоскости Re p>a

Лит.: Д и т к и н В. А. н Кузнецов
П. И., Справочник по операционному исчислению. Основы теории и таблицы
формул, М. - Л., 1951; Д и т к и н В. А. и Прудников А. П., Интегральные
преобразования и операционное исчисление, М., 1961; Д ё ч Г., Руководство
к практическому применению преобразования Лапласа, пер. с нем., М-, 1965.