КОЛЬЦО

КОЛЬЦО алгебраическое, одно
из осн. понятий совр. алгебры. Простейшими примерами К. могут служить указанные
ниже системы (множества) чисел, рассматриваемые вместе с операциями
сложения и умножения: 1) множество всех целых положит., отрицат.
чисел и нуля; 2) множество всех чётных чисел и вообще целых чисел,
кратных данному числу п; 3) множество всех рациональных чисел.
Общим в этих трёх примерах является то, что сложение и умножение чисел,
входящих в систему, не выводят за пределы системы (следует отметить, что
и вычитание не выводит за пределы системы). В различных областях
математики часто приходится иметь дело с разнообразными множествами (они
могут состоять, напр., из многочленов или матриц, см. примеры
7 и 9), над элементами которых можно производить две операции, весьма
похожие по своим свойствам на сложение и умножение обычных чисел. Предметом
теории К. является изучение свойств обширного класса такого рода множеств.

Кольцом наз. непустое множество R,
для элементов к-рого определены две операции - сложение и умножение, сопоставляющие
любым двум элементам а, b из R, взятым в определённом
порядке, один элемент а + b из R - их сумму и один
элемент аb из R - их произведение, причём предполагаются
выполненными следующие условия (аксиомы К.):

I. Коммутативность сложения: а
+
b - b + а.

И. Ассоциативность сложения: а
+
(b
+ с) = (а + b) + с.

III. Обратимость сложения (возможность
вычитания): уравнение а + x = b допускает решение
х
=
b - а.

IV. Дистрибутивность: а(b +
с) = = аb + ас, (b + с)а = bа + са.

Перечисленные свойства показывают,
что элементы К. образуют коммутативную группу относительно сложения.
Дальнейшими примерами К. могут служить множества: 4) всех действительных
чисел; 5) всех комплексных чисел; 6) комплексных чисел вида
а
+ bi с целыми а, b; 7) многочленов от одного переменного
х
с
рациональными, действительными или комплексными коэффициентами; 8)
всех
функций, непрерывных на данном отрезке числовой прямой; 9)
всех
квадратных матриц порядка п с действительными (или комплексными)
элементами;
10) всех кватернионов; 11) всех чисел К эл и - Диксона, т.
е. выражений вида а + Ве, где а, В - кватернионы<,
е -буква;
сложение и умножение чисел Кэлп - Диксона определяются равенствами

где а - кватернион, сопряжённый к
а; 12) всех симметрических матриц порядка n с действительными
элементами относительно операций сложения матриц и "йордановок" умножения
аb=1/2
(ab + bа); 13) векторов трёхмерного пространства при обычном сложении
и векторном умножении. Во многих случаях на умножение s К. налагаются дополнит,
ограничения. Так,< если a(bc) = (ab)c, то К. наз. ассоциативным
(примеры 1-10); если в К. выполняются равенства (аа)b = = a(ab),
(ab)b = a(bb), то оно наз. альтернативным кольцом (пример 11); если
в К. выполняются равенства ab = ba, (ab) (аа) = ((aа) b)а, то
оно наз. йордановым кольцом (пример 12); если в К. выполняются равенства
a(bc)
+ b(ca) + c(ab) =0, а² = 0, то оно наз. кольцом Ли (пример
13); если ab = ba, то К. наз. коммутативным (примеры 1-8, 12). Операции
сложения и умножения в К. во многом похожи по своим свойствам на соответствующие
операции над числами. Так, элементы К. можно не только складывать, но и
вычитать; существует элемент 0 (нуль) с обычными свойствами; для
любого элемента а существует противоположный, т. е. такой элемент
- а, что а + (-a) = 0; произведение любого элемента
на элемент 0 всегда равно нулю. Однако на примерах 8-9, 12-13 можно убедиться,
что К. может содержать отличные от нуля элементы
а, b, произведение
к-рых равно нулю: аb = 0; такие элементы наз. делителями нуля. Ассоциативное
коммутативное К. без делителей нуля наз. о бластью целостности (примеры
1-7). Так же, как и в области целых чисел, не во всяком К. возможно
деление одного элемента на другой, если же это возможно, т. е. если всегда
разрешимы уравнения ах = b и yа = b при а <>
0, то К. наз. телом (примеры 3-5, 10, 11). Ассоциативное коммутативное
тело принято называть полем (примеры 35) (см. Поле алгебраическое).
Весьма важны для многих отделов алгебры К. многочленов с одним или неск.
переменными над произвольным полем и К. матриц над ассоциативными телами,
определяемые аналогично К. примеров 7 и 9. Многие классы К. всё чаще находят
приложения и вне алгебры. Важнейшими из них являются: К. функций и К. операторов,
сыгравшие большую роль в развитии функционального анализа; альтернативные
тела, применяемые в проективной геометрии; т. н. дифференциальные К. и
поля, отразившие интересную попытку применить теорию К. к дифференциальным
уравнениям.

При изучении К. большое значение
имеют те или иные способы сличения друг с другом различных К. Одним из
наиболее плодотворных является гомоморфное отображение (гомоморфизм),
т. е. такое однозначное отображение R -> R' кольца R на
кольцо R', что из а -> а', b -> b' следует
а
+
b -> а' + b' и ah -> a'b'. Если это отображение
также и взаимно однозначное, то оно наз. изоморфизмом, а кольца R и
R'
изоморфными. Изоморфные К. обладают одинаковыми алгебраическими свойствами.

Множество М элементов кольца
R
наз.
подкольцом, если М само является К. относительно операций, определённых
в R. Подкольцо М. наз. левым (правым или двусторонним)
идеалом
кольца R, если для любых элементов т из М
и г из R
произведение
гт (соответственно тг или как гт, так и тг)
лежит в М. Элементы а и b кольца R
наз. сравнимыми
по идеалу М, если а -
b принадлежит
М. Всё
К. разбивается на классы сравнимых элементов - классы вычетов по идеалу
М. Если определить сложение и умножение классов вычетов по двустороннему
идеалу М через сложение и умножение элементов этих классов, то сами
классы вычетов образуют К.- фактор кольцо
R/M кольца
R по
идеалу М. Имеет место теорема о гомоморфизме К.: если каждому элементу
К. поставить в соответствие содержащий его класс, то получают гомоморфное
отображение кольца R на факторкольцо RM;
обратно, если R
гомоморфно отображается на R', то множество М элементов из R,
отображающихся в нуль кольца R', будет двусторонним идеалом в R,
и R' изоморфно R/M.

Среди различных типов К. легче других
поддаются изучению и сравнительно чаще находят приложение т. н. алгебры:
кольцо R наз. алгеброй над полем Р, если для любых а из Р и
г из R определено произведение аг также из R, причём (а +
(3)г = аг + РГ, ce(r + s) =

= аг + as, (сф)г = a(|3r),
ct(rs) = (ar)s = = r(as), ЕГ = г для любых а, 0 из Р и г,
s из R, где е - единица поля Р. Если все элементы алгебры линейно
выражаются через п линейно независимых элементов (см. Линейная
зависимость), то R наз. алгеброй конечного ранга п, или
гиперкомплексной системой (см. Гиперкомплексные числа). Примерами
алгебр могут служить комплексные числа (алгебра ранга 2 над полем действительных
чисел), полное К. матриц с элементами из поля Р (к-рое является алгеброй
ранга и² над Р), К. примера 10 (алгебра ранга 4 над полем действительных
чисел), К. примера 8 и др.

Для целых чисел и К. многочленов
справедлива теорема об однозначной разложимости элемента в произведение
простых, т. е. далее не разложимых элементов. Эта теорема верна для любых
К. главных идеалов, т. е. областей целостности, в к-рых любой идеал состоит
из кратных одного элемента. Частным случаем таких К. являются евклидовы
К., т. е. К., где любому элементу а <> 0 соответствует неотрицательное
целое число п(а), причём n(ab) >= п(а) и для любых а и
b
<> 0 существуют такие q и г, что а = bq + f и
либо n(r)<n(b), либо г = 0. Таковы, напр., К. многочленов и К.
примеров 1 и 6. Для широкого класса К. верна теорема об однозначном разложении
идеала
в произведение простых идеалов, хотя для самих элементов она не выполняется.
Основы теории разложения идеалов и абстрактных К. были заложены Э. Нётер
(в 20-х гг. 20 в.).

Одним из первых в России теорией
К. занимался Е. И. Золотарёв (70-е гг. 19 в.); его исследования
относятся к числовым К., а именно - к теории разложения идеалов в них.
В Советском Союзе теория К. разрабатывается в основном в трёх центрах:
Москве, Новосибирске и Кишинёве.

Лит.: Курош А. Г., Курс высшей
алгебры, 9 изд., М., 1968; Энциклопедия элементарной математики, кн. 1,
М.- Л., 1951; Ван-дер-Варден Б. Л., Современная алгебра, пер. с нем., 2
изд., ч. 1 - 2, М.- Л., 1947; Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ.,
М., 1961; Л е н г С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я