ИСЧЕРПЫВАНИЯ МЕТОД

ИСЧЕРПЫВАНИЯ МЕТОД метод доказательства, применявшийся математиками древности при
нахождении площадей и объёмов. Назв. «метод исчерпывания» введено в 17
в.

Типичная схема
доказательства при помощи И. м. может быть изложена в совр. обозначениях
так: для определения величины А строится нек-рая последовательность величин
C

предполагают
также известным такое В, что

и при любом
целом К для достаточно больших n удовлетворяются неравенства

где D - постоянно.
С совр. точки зрения, для перехода от неравенств (3) к равенству

достаточно
заметить, что из условий (1), (2) и (3) следует

Математики
древности, не располагавшие теорией пределов, обращались к доказательству
от противного и доказывали невозможность каждого из неравенств A<В,
В<А. Чтобы опровергнуть первое из них, при помощи аксиомы Евдокса -
Архимеда (см. Архимеда аксиома) устанавливали, что для R=B-А существует
такое К, что KR>D и в силу условия (1) получали

что противоречит
второму из неравенств (3). Аналогично опровергалось другое предположение.
После этого оставалось принять только равенство (4).

Введение И.
м. вместе с лежащей в его основе аксиомой приписывается Евдоксу Книдскому.
Этим методом широко пользовался Евклид, а с особенным искусством и разнообразием
- Архимед. Напр., для определения площади сегмента А параболы Архимед строит
площади Cнарастании площадь А сегмента, по схеме,< ясной из чертежа. При этом

Вместо того
чтобы прибегнуть к предельному переходу,

Архимед геометрически
доказывает, что при любом n

Вводя площадь

Архимед получает,что
и, следуя изложенному выше порядку, заканчивает доказательство того, что

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я