ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
, один из
разделов общей динамики. Э. т. возникла в связи с задачей матем. обоснования
статистич. физики, а именно - замены средних значений, взятых по фазовому
пространству, временными средними. Состояние нек-рой физич. системы, напр,
к.-л. объёма газа, определяется импульсами и координатами составляющих
её частиц, т. е. 6N величинами (N - число частиц). Возможные состояния
системы удобно представлять себе как точки 6N-мерного пространства - фазового
пространства, а её эволюцию с течением времени - как нек-рое движение
(траекторию) в этом пространстве. Различные физич. величины, связанные
с данной системой (темп-pa, давление и т. п.), являются, как правило, функциями
координат и импульсов, составляющих систему частиц, т. е. функциями точки
её фазового пространства. Такие величины наз. фазовыми функциями. При сопоставлении
теории с экспериментом приходится сравнивать вычисленные значения тех или
иных физич. величин с опытными данными. Обычно теоретически легко определяются
лишь средние значения фазовых функций по всем состояниям, отвечающим данной
энергии (т. н. фазовые средние). С другой стороны, так как измерение любой
физич. величины занимает конечное время, притом большое с точки зрения
скорости молекулярных процессов, результат всякого измерения представляет
собой среднее по времени (т. е. вдоль траектории) от соответствующей фазовой
функции. Т. о., для сравнения опытных данных с теоретическими необходимо
обосновать замену временных средних фазовыми. Система, в к-рой фазовые
средние совпадают с временными, наз. эргодической. Выяснение условий, при
к-рых система является эргодической, и составляет основную задачу Э. т.
Попытки установить условия эргодичности физич. системы делались ещё Л.
Больцманом,
но
первый математически строгий результат был получен только в 1931 Дж. Биркгофом,
к-рый
доказал, что система является эргодической в том и только в том случае,
если её фазовое пространство нельзя разбить на сумму двух инвариантных
(т. е. состоящих из целых траекторий) множеств, каждое из к-рых имеет положительный
объём. Одновременно Биркгоф доказал, при весьма общих предположениях, и
само существование временных средних. Исследования Биркгофа были продолжены
и обобщены в более поздних работах (Дж. Нейман, А. Я. Хинчин,
Н.
М. Крылов и Н. Н. Боголюбов
и др.). Э. т. развивается по
существу как чисто матем. теория в рамках общей теории динамических
систем.
Полученные в Э. т. результаты не привели
к исчерпывающему решению вопроса об обосновании статистич. физики, однако
Э. т. и само понятие эргодической системы играют важную роль в общей динамике,
качественной теории дифференциальных ур-ний, теории случайных процессов
и др. вопросах.
Лит.: Хинчин А. Я., Математические
основания статистической механики, М.- Л., 1943; Немыцкий В. В., Степанов
В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М.-Л., 1949;
X а л м о ш П., Лекции по эргодической теории, пер. с англ., М., 1959;
Аносов Д. В., Синай Я. Г., Некоторые гладкие эргодические системы, "Успехи
математических наук", 1967, т. 22, в. 5 (137).
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я