ФУРЬЕ РЯД

ФУРЬЕ РЯД тригонометрический
ряд, служащий для разложения периодич. функции на гармонич. компоненты.
Если функция f(x) имеет период 2Т, то её Ф. р. имеет вид

циенты. а зависимости от того, в
каком смысле понимаются интегралы в формулах для коэффициентов, говорят
о рядах Фурье-Римана, Фурье-Лебега и т. д. Обычно рассматривают 2л>периодиче-ские
функции (общий случай сводится к ним преобразованием независимого переменного).

Ф. р. представляют собой простейший Класс
разложений по ортогональной системе функций, а именно - по тригонометрической
системе 1, cos x, sin x, cos 2х, sin 1x, ...,
cos nx, sin nx, ..., к-рая обладает двумя важными свойствами:
замкнутостью и полнотой. Частичные суммы Ф. р. (сум м ы Фурье)

так что функции f(x), имеющие интегрируемый
квадрат, сколь угодно хорошо аппроксимируются своими суммами Фурье в смысле
среднего квадратичного уклонения (см. Приближение и интерполирование
функций).

Для любой интегрируемой функции
f(x)
коэффициенты
Фурье апри

Один из вариантов этой формулы был впервые
указан франц. математиком М. Парсевалем (1799), а общая формула (где интеграл
понимается в смысле Лебега) доказана Лебегом. Обратно, для

с интегрируемым по Лебегу квадратом, имеющая
эти числа своими коэффициентами Фурье (нем. математик Э. Фишер, венг. математик
Ф. Рис). Для интегралов в смысле Римана эта теорема неверна. Известно большое
число признаков сходимости Ф. р., т. е. достаточных условий, гарантирующих
сходимость ряда. Напр., если функция f(x) имеет на периоде конечное
число максимумов и минимумов, то её Ф. р. сходится в каждой точке (П. Дирихле).
Более
общо, если f(x) имеет ограниченное изменение (см. Изменение функции),
тоеёФ.
р. сходится в каждой точке и притом равномерно на каждом отрезке, внутреннем
к отрезку, на котором f(x) непрерывна (К. Жордан).
Если f(x)
непрерывна
и её модуль непрерыв-

мерно сходится (итал. математик У. Дини,
1880).

Проблема полного исследования условий сходимости
Ф. р. оказалась весьма трудной, и в этом направлении до сих пор нет окончательных
результатов. Как показал Риман, сходимость или расходимость Ф. р. в нек-рой
точке хзависит от поведения функции f (x) лишь
в сколь угодно малой окрестности этой точки (т. н. принцип локализации
для Ф. р.). Если в точке Хо функция f(x) имеет разрыв первого
рода, т. е. существуют различные пределы f(xt,-0) и f(x+
0), и Ф. р. этой функции сходится в точке .то, то он сходится к значению
1/2{f (xо-0) + f()}. В частности, если Ф.
р. непрерывной периодич. функции f(x) сходится в каждой точке, то
его сумма равна f(x).

Известно, что существуют непрерывные функции,
Ф. р. к-рых расходятся в бесконечном числе точек (нем. математик П. дю
Буа-Реймон, 1875), и интегрируемые в смысле Лебега функции, Ф. р. к-рых
расходятся в каждой точке (А. Н. Колмогоров, 1926). Однако Ф. р.
всякой интегрируемой с квадратом функции сходится почти всюду (Л. Карлесон,
1966). Этот результат веоен и для функ-

"дефекты сходимости" породили м е-тоды
суммирования Ф. р. Вместо того чтобы исследовать поведение сумм Фурье,
исследуют средние, образованные из этих сумм, поведение к-рых в ряде случаев
оказывается значительно более правильным. Напр., для любой непрерывной
периодич. функции fix) сумма Ф е и е о а

лит.: Толстов Г. П., Ряды Фурье,
2 изд., М., 1960; Б а р и Н. К., Тригонометрические ряды. М., 1961; Зигмунд
А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т. 1 -2, М., 1965.