ФУНКЦИЯ

ФУНКЦИЯ , одно из основных понятий
математики, выражающее зависимость одних переменных величин от других.
Если величины х п у связаны так, что каждому значению х
соответствует
определённое значение у, то у называют (однозначной) функцией
аргумента х. Иногда х называют независимой,
& у -зависимой
переменной. Записывают указанное соотношение между х и у в
общем виде так: у = f(x) или у =
F(x) и т. п. Если связь
между х и у такова, что одному и тому же значению х соответствует
вообще несколько (быть может даже бесконечное множество) значений у,
то
у
называют
многозначной Ф. аргумента х. Задать Ф.
у = f(x)
значит указать:

1) множество А значений, которые
может принимать х (область задания Ф.),

2) множество В значений, которые
может принимать у (область значения Ф.), и

3) правило, по к-рому значениям л из А
соотносятся значения у из В. В простейших случаях областью
задания Ф. служит вся числовая прямая или её отрезок а<=,х<=b
(или
интервал а<х

Правило отнесения значениям х соответствующих
им значений у чаще всего задаётся формулой, устанавливающей, какие
вычислительные операции надо произвести над x, чтобы найти у.
Таковы,

т. п. К вычислительным (или аналитическим)
операциям, кроме четырёх действий арифметики, принято относить также операцию
перехода к пределу (т. е. нахождение по заданной последовательности чисел
at,
аеё предела lim а&bdquo;,
если он существует), хотя никаких общих способов производства этой операции
нет. В 1905 А. Лебег предложил общее определение аналитически изобрази-мой
Ф. как Ф., значения к-рой получаются из значений х и постоянных
величин при помощи арифметич. действий и предельных переходов. Все т. н.
э л е-

В 1885 К. Вейерштрасс установил
ана-литич. изобразимость любой непрерывной функции. Именно, он показал,
что всякая Ф., непрерывная на к.-н. отрезке, является пределом последовательности
многочленов вида

кроме описанного здесь аналитич. способа
задания Ф. при помощи формулы, применяются и др. способы. Так, в тригонометрии
Ф. cos * определяется как проекция единичного вектора на ось, образующую
с ним угол в л: радианов.

в алгеоре как число, квадрат к-рого равен
х.
Возможность
задания этих Ф. при помощи аналитич. формул устанавливается лишь при более
углублённом их изучении. Упомянем ещё о т. н. функции Дирихле ti>(*), равной
1, если х - число рациональное, и 0, если х -
число иррациональное.
Впервые эта Ф. была введена этим чбесформульным" способом, но впоследствии
для неё была найдена и аналитич. формула:

Существуют, однако, и такие Ф., к-рые не
представимы в описанном выше смысле никакой аналитич. формулой. Такими
Ф., во всяком случае, являются т. н. неизмеримые по Лебегу Ф.

К Ф., заданным одной аналитич. формулой,
примыкают Ф., к-рые на разных частях своей области задания определены различными
формулами. Такова, напр., Ф. f(x), заданная так: f(x) = х,
если
х<=1, и f(x) = x², если х>1. Приведённое
выше ".бесформульное" задание функции Дирихле ф (x) также принадлежит
к этому типу.

Ф- У = f(x) иногда задаётся
своим графиком, т. е. множеством тех точек (дг, у) плоскости, у
к-рых .г принадлежит области задания Ф., а у = f(x). В прикладных
вопросах часто довольствуются таким заданием Ф., когда её график просто
начерчен на плоскости (рис.), а значения Ф. снимаются с чертежа. Так, напр.,
верхние слои атмосферы можно изучать при помощи шаров-зондов, несущих самопишущие
приборы, непосредственно доставляющие кривые изменения темп-ры, давления
и т. п.

Чтобы задание Ф. графиком было вполне корректным
с чисто матем. точки зрения, недостаточно, однако, просто н а-чертить её
график, ибо задание геометрич. объекта чертежом всегда недостаточно определённо.
Поэтому для графич. задания Ф. должна быть указана точная геометрич. конструкция
её графика. Чаще всего эта конструкция задастся при помощи уравнения, что
возвращает нас к аналитич. заданию Ф., однако возможны я чисто геометрич.
методы построения графика (напр., прямая линия вполне определяется заданием
координат двух её точек).

В технике и естествознании часто встречается
следующая ситуация: зависимость между величинами х и у заведомо
существует, но неизвестна. Тогда производят ряд экспериментов, в каждом
из к-рых удаётся измерить одно из значений величины х и соответствующее
ему значение у. В результате составляется более или менее обширная
таблица, сопоставляющая измеренным значениям х соответствующие значения
у.
Тогда
говорят о "табличном" задании Ф. Нахождение для такой Ф. аналитяч. формулы
(см. Интерполяция) не раз представляло собой важное научное открытие
(напр., открытие Р. Бойлем и Э. Маргюттом формулы
pv
=
С, связывающей давление и объём массы газа). Табличное задание Ф. с чисто
матем. точки зрения вполне корректно, если под областью задания Ф. понимать
именно то множество значений х, к-рое внесено в табл., и табл. значения
у
считать
абсолютно точными. Кроме Ф. одного аргумента, о к-рых шла речь, в математике
и её приложениях, большое значение имеют Ф. неск. аргументов. Пусть, напр.,
каждой системе значений трёх переменных
х, у, г соответствует определённое
значение четвёртой переменной
и.
Тогда говорят, что
и есть
(однозначная) Ф. аргументов
х, у, z, и пишут и = f(x, у, z).
Формулы и = х + 2у, и
=
(х + y²) sin z дают примеры
аналитич. задания Ф. двух и трёх аргументов. Аналогично определяются и
многозначные Ф. неск. аргументов. Ф. двух аргументов z =
f(x, у) можно
задать и при помощи её графика, т. е.множества точек
(х, у, z) пространства,
у к-рых
(х, у) принадлежит области задания Ф., a z = f(x, у).
В простейших случаях таким графиком служит нек-рая поверхность.

Развитие математики в 19 и 20 вв. привело
к необходимости дальнейшего обобщения понятия Ф., заключавшегося в перенесении
этого понятия с переменных действительных чисел сначала на переменные комплексные
числа, а затем и на переменные матем. объекты любой природы. Напр., если
каждому кругу х плоскости соотнести его площадь у, то у
будет
функцией х, хотя х уже не число, а геометрич. фигура. Точно
так же, если каждому шару х трёхмерного пространства соотнести его
центр у, то здесь уже ни х, ни у не будут числами.

Общее определение однозначной Ф. можно
сформулировать так: пусть А = = {х} и В = {у} - два непустых
множества, составленных из элементов любой природы, и М - множество
упорядоченных пар (х, у) (где х принадлеж.А, упринадлеж
В)
такое,
что каждый элемент х€.А входит в одну и только одну пару из М',
тогда
М за даёт на Л функциюу= f(x), значение к-рой для каждого отдельного
хо?А
есть элемент уо?В, входящий в единственную пару из М, имеющую
хсвоим первым элементом.

При указанном расширении понятия Ф. стирается
различие между Ф. одного и неск. аргументов. Напр., всякую Ф. трёх числовых
переменных х, у, z можно считать Ф. одного аргумента - точки (х,
у, z) трёхмерного пространства. Более того, такие обобщения понятия
Ф., как функционал или оператор (см. Функциональный анализ), также
охватываются приведённым определением .

Как и остальные понятия математики, понятие
Ф. сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития. В работе П. Ферма
"Введение
и изучение плоских и телесных мест" говорится: "Всякий раз, когда в заключительном
уравнении имеются две неизвестных величины, налицо имеется место". По существу
здесь идёт речь о функциональной зависимости и её графич. изображении ("место"
у Ферма означает линию). Изучение линий по их уравнениям в "Геометрии"
Р. Декарта (1637) также указывает на ясное представление о взаимной
зависимости двух переменных величин. У И. Барроу ("Лекции по геометрии",
1670) в геометрич. форме устанавливается взаимная обратность действий дифференцирования
и интегрирования (разумеется, без употребления самих этих терминов). Это
свидетельствует уже о совершенно отчётливом владении понятием Ф. В геометрич.
и механич. виде это понятие мы находим и у И. Ньютона. Однако термин
"Ф." впервые появляется лишь в 1692 у Г. Лейбница и притом не совсем
в современном понимании его. Лейбниц называет Ф. различные отрезки, связанные
с к.-л. кривой (напр., абсциссы её точек и т. п.). В первом печатном курсе
"Анализа бесконечно малых " Г. Лопиталя (1696) термин "Ф." не употреблялся.

Первое определение Ф. в смысле, близком
к современному, встречается у И. Бернулли (1718): "Функция это величина,
составленная из переменной и постоянной". В основе этого не вполне отчётливого
определения лежит идея задания Ф. аналитич. формулой. Та же идея выступает
и в определении Л. Эйлера (см. "Введение в анализ бесконечных",
1748): "Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное
каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных
количеств". Впрочем, уже Эйлеру было не чуждо и современное понимание Ф.,
к-рое не связывает понятие Ф. с к.-л. аналитическим её выражением. В его
"Дифференциальном исчислении" (1755) говорится: "Когда некоторые количества
зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они
подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых".

Всё же в 18 в. отсутствовало достаточно
ясное понимание различия между Ф. и её аналитич. выражением. Это нашло
отражение в той критике, к-рой Эйлер подверг решение задачи о колебании
струны, предложенное Д. Бернулли (1753). В основе решения Бернулли
лежало утверждение о возможности разложить любую Ф. в тригонометрич. ряд.
Возражая против этого, Эйлер указал на то, что подобная разложимость доставляла
бы для любой Ф. аналитич.выражение, в то время как Ф. может и не иметь
его (она может быть задана графиком, "начертанным свободным движением руки").
Эта критика убедительна и с современной точки зрения, ибо не все Ф. допускают
аналитич. изображение (правда, у Бернулли речь идёт о непрерывной Ф., к-рая
всегда аналитически изобразима, но она может и не разлагаться в тригонометрич.
ряд). Однако другие аргументы Эйлера уже ошибочны. Напр., Эйлер считал,
что разложение Ф. в тригонометрич. ряд доставляет для неё единое аналитич.
выражение, в то время как она может быть "смешанной" Ф., представимой на
разных отрезках разными формулами. На самом деле одно другому не противоречит,
но в ту эпоху казалось невозможным, чтобы два аналитич. выражения, совпадая
на части отрезка, не совпадали на всём его протяжении.

Эти ошибочные взгляды мешали развитию теории
тригонометрич. рядов, и лишь в работах Ж. Фурье (1822) и П. Дирихле
(1829)
правильные по существу идеи Д. Бернулли получили дальнейшее развитие.

С нач. 19 в. уже всё чаще и чаще определяют
понятие Ф. без упоминания об её аналитич. изображении. В руководстве франц.
математика С. Лакруа -(1810) говорится: "Всякая величина, значение которой
зависит от одной или многих других величин, называется функцией этих последних".
В "Аналитической теории тепла" Ж. Фурье (1822) имеется фраза: "Функция
fx
обозначает
функцию совершенно произвольную, т. е. последовательность данных значений,
подчинённых или нет общему закону и соответствующих всем значениям х,
содержащимся
между 0 и какой-либо величиной X". Близко к современному и определение
Н. И. Лобачевского ("Об исчеза-нии тригонометрических строк", 1834):
"...Общее понятие требует, чтобы функцией от х называть число, которое
дается для каждого х и вместе с х постепенно изменяется.
Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием,
которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или,
наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной". Там
же немного нижесказано: "Обширный взгляд теории допускает существование
зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи, понимать
как бы данными вместе". Т. о., современное определение Ф., свободное от
упоминаний об аналитич. задании, обычно приписываемое Дирихле и высказанное
в 1837, неоднократно предлагалось и до него.

В заключение отметим следующее важное открытие,
принадлежащее Д. Е. Меньшову: всякая конечная измеримая (по Лебегу)
на отрезке Ф. (см. Измеримые функции) разлагается в тригонометрич.
ряд, сходящийся к ней почти всюду. Т. к. обычно встречаемые Ф. измеримы,
то можно сказать, что практически всякая Ф. изобразима аналитически с точностью
до множества меры нуль.

Лит.: Ильин В. А., П о з н я к Э.
Г. Основы математического анализа, 3 изд. ч. 1-2, М., 1971-73; Кудрявцев
Л. Д. Математический анализ, 2 изд., т. 1 - 2, М. 1973; Никольский С. М.,
Курс мате матического анализа, 2 изд., т. 1 - 2, М., 1975 И. П. Натансон