УРАВНЕНИЕ

УРАВНЕНИЕ в математике,
аналитическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при к-рых
значения двух данных функций равны. Аргументы, от к-рых зависят эти функции,
наз. обычно неизвестными, а значения неизвестных, при к-рых значения функций
равны,- решениями (корнями); о таких значениях неизвестных говорят, что
они удовлетворяют данному У. Напр., Зх - 6 = 0 является У. с одним неизвестным,
а х = 2 есть его решение; х² + у² = 25 является
У. с двумя неизвестными, а х = 3, у = 4 есть одно из его
решений. Совокупность решений данного У. зависит от области М значений,
допускаемых для неизвестных. У. может не иметь решений в М, тогда
оно наз. неразрешимым в области М. Если У. разрешимо, то оно может
иметь одно или несколько, или даже бесконечное множество решений. Напр.,
У. х⁴ - 4=0 неразрешимо в области рацио-нальных чисел,
но имеет два решения:

х1/2
, х=
- 2^1/2 в области действительных чисел и четыре решения: x= 2^1/2,

x1/2,
х1/2, x*2^1/2
в области комплексных чисел. У. sinx = О имеет бесконечное множество решений:
x = kn(k = 0,± 1, ± 2,...) в области действительных
чисел. Если У. имеет решениями все числа области М, то оно наз.
тождеcтвом в области М. Напр., У. х =(х²)^1/2является
тождеством в области неотрицательных чисел и не является тождеством в области
действительных чисел.

Совокупность У., для к-рых
требуется найти значения неизвестных, удовлетворяющие одновременно всем
этим У., наз. системой У.; значения неизвестных, удовлетворяющих одновременно
всем У. системы,- решениями системы. Напр., х+2y= 5, 2х + у -
z = 1 является системой двух У. с тремя неизвестными; одним из решений
этой системы является x = 1, y = 2, z = 3.

Две системы У. (или два У.)
наз. равносильными, если каждое решение одной системы (одного У.) является
решением др. системы (другого У.), и наоборот, причём обе системы (оба
У.) рассматриваются в одной и той же области (см. Равносильные уравнения).
Напр.,
У. x - 4 = 0 и 2х - 8=0 равносильны, т. к. решением обоих У. является
лишь х = 4. Всякая система У. равносильна системе вида
fх)=0, где k = 1, 2, ... Процесс
разыскания решений У. заключается обычно в замене У. равносильным. В нек-рых
случаях приходится заменять данное У. другим, для к-рого совокупность решений
шире, чем у данного У. Решения нового У., не являющиеся решениями данного
У., наз. посторонними решениями (см. Посторонний корень).

Напр., возводя в квадрат
У. (х - 3)^1/2 = = - 2, получают У. х - 3 = 4,
решение к-рого х = 7 является посторонним для исходного У. Поэтому,
если при решении У. делались действия, могущие привести к появлению посторонних
решений (напр., возведение У. в квадрат), то все полученные решения преобразованного
У. проверяют подстановкой в исходное У. Наиболее изучены У., для к-рых
функции fявляются многочленами от переменных xxалгебраические У. Напр., алгебраич.
У. с одним неизвестным имеет вид:

an+an-1+a= 0 (a

число п наз. степенью
У. Решение алгебраич. У. было одной из важнейших задач алгебры в 16-17
вв., когда были получены формулы и методы решения алгебраич. У. 3-й и 4-й
степеней (см. Алгебра, Кардана формула) (правила решения алгебраич.
У. 1-й и 2-й степеней были известны ещё в глубокой древности). Для корней
У. 5-й и высших степеней общей формулы не существует, поскольку эти У.,
вообще говоря, не могут быть решены в радикалах (Н. Абель, 1824).
Вопрос о разрешимости алгебраич. У. в радикалах привёл (ок. 1830) Э. Талуа
к
общей теории алгебраич. У. (см. Галуа теория).

Каждое алгебраич. У. всегда
имеет хотя бы одно решение, действительное или комплексное. Это составляет
содержание т. н. основной теоремы алгебры,

строгое доказательство к-рой
впервые было дано К. Гауссом в 1799. Если а. - решение У.
(*), то многочлен аохⁿ + + an-1+
... + аделится на х - а. Если он делится на (х
- а)^k, но не делится на (х -a)^k+1, то
решение а имеет кратность k. Число всех решений У. (*), если каждое
считать столько раз, какова его кратность, равно п.

Если f(x) - трансцендентная
функция, то У. f(x) = 0 наз. трансцендентным (см., напр., Кеплера
уравнение), причём в зависимости от вида f(x) оно наз. тригонометрическим
У., логарифмическим У., показательным У. Рассматриваются также иррациональные
У., то есть У., содержащие неизвестное под знаком радикала. При практич.
решении У. обычно применяются различные приближённые методы решения У.

Среди систем У. простейшими
являются системы линейных У., то есть У., в к-рых fсуть
многочлены первых степеней относительно x..., х(см. Линейное уравнение).

Решение системы У. (не обязательно
линейных) сводится, вообще говоря, к решению одного У. при помощи т. н.
исключения неизвестных (см. также Результант).

В аналитической геометрии
одно У. с двумя неизвестными интерпретируется при помощи кривой на плоскости,
координаты всех точек к-рой удовлетворяют данному У. Одно У. с тремя неизвестными
интерпретируется при помощи поверхности в трёхмерном пространстве. При
этой интерпретации решение системы У. совпадает с задачей о разыскании
точек пересечения линий, поверхностей и т. д. У. с большим числом неизвестных
интерпретируются при помощи многообразий в n-мерных пространствах.

В теории чисел рассматриваются
неопределённые У., то есть У. с несколькими неизвестными, для к-рых ищутся
целые или же рациональные решения (см. Диофантовы уравнения). Напр.,
целые решения У. х² + у² = z²имеют
вид х = т² - n²; у = 2 тп; z =
т² + п², где т и п - целые числа.

С наиболее общей точки зрения,
У. является записью задачи о разыскании таких элементов нек-рого множества
А,
что F(a) = Ф(а), где F и Ф - заданные отображения множества
А
в множество В. Если множества А и В являются множествами
чисел, то возникают У. рассмотренного выше вида. Если А я В - множества
точек в многомерных пространствах, то получаются системы У., если же А
и В - множества функций, то в зависимости от характера отображения
могут получаться также дифференциальные уравнения, интегральные уравнения
и др. виды У. Наряду с вопросами нахождения решения У. в общей теории
У. различного вида изучаются вопросы существования и единственности решения,
непрерывной зависимости его от тех или иных данных и т. д.

Термин "У." употребляется
(в отличном от указанного выше смысле) и в др. естественных науках, см.,
напр., Уравнение времени (в астрономии), Уравнение состояния
(в
физике), Уравнения химические, Максвелла уравнения в электродинамике,
Кинетическое
уравнение Больц-мана в теории газов.