УПРУГОСТИ ТЕОРИЯ

УПРУГОСТИ ТЕОРИЯ раздел
механики,
в к-ром изучаются перемещения, деформации и напряжения, возникающие
в покоящихся или движущихся упругих телах под действием нагрузки. У. т.-
теоретич. основа расчётов на прочность, деформируемость и устойчивость
в строит. деле, авиа- и ракетостроении, машиностроении, горном деле и др.
областях техники и промышленности, а также в физике, сейсмологии, биомеханике
и др. науках. Объектами исследования методами У. т. являются разнообразные
тела (машины, сооружения, конструкции и их элементы, горные массивы, плотины,
геологич. структуры, части живого организма и т. п.), находящиеся под действием
сил, температурных полей, радиоактивных облучений и др. воздействий. В
результате расчётов методами У. т. определяются допустимые нагрузки, при
к-рых в рассчитываемом объекте не возникают напряжения или перемещения,
опасные с точки зрения прочности или недопустимые по условиям функционирования;
наиболее целесообразные конфигурации и размеры сооружений, конструкций
и их деталей; перегрузки, возникающие при динамич. воздействии, напр. при
прохождении упругих волн; амплитуды и частоты колебаний конструкций
или их частей и возникающие в них динамич. напряжения; усилия, при к-рых
рассчитываемый объект теряет устойчивость. Этими расчётами определяются
также материалы, наиболее подходящие для изготовления проектируемого объекта,
или материалы, к-рыми можно заменить части организма (костные и мышечные
ткани, кровеносные сосуды и т. п.). Методы У. т. эффективно используются
и для решения нек-рых классов задач теории пластичности (в методе по-следоват.
приближений).

Физические законы упругости
материалов,
надёжно проверенные экспериментально и имеющие место для большинства материалов,
по крайней мере при малых (а иногда и очень больших) деформациях, отражают
взаимно однозначные зависимости между текущими (мгновенными) значениями
напряжений о и деформаций Е, в отличие от законов пластичности, в к-рых
напряжения зависят от процесса изменения деформаций (при одних и тех же
деформациях, достигнутых путём различных процессов, напряжения различны).
При растяжении цилиндрич. образца длины l, радиуса r,
с площадью
поперечного сечения F имеет место пропорциональность между

растягивающей силой Р,
продольным
удлинением образца dl и поперечным удлинением dr, к-рая выражается
равенствами: cгде cP/F - нормальное напряжение в поперечном сечении,
edl/1 - относит. удлинение образца, e= dr/r- относит. изменение поперечного размера; Е - модуль
Юнга (модуль продольной упругости), v - Пуассона коэффициент. При
кручении тонкостенного трубчатого образца касат. напряжение т в
поперечном сечении вычисляется по значениям площади сечения, его радиуса
и приложенного крутящего момента. Деформация сдвига у определяемая по наклону
образующих, связана с т равенством т=Gу, где G - модуль сдвига.

При испытаниях образцов,
вырезанных из изотропного материала по разным направлениям, получаются
одни и те же значения Е, G и v. В среднем изотропны многие конструкционные
металлы и сплавы, резина, пластмассы, стекло, керамика, бетон. Для анизотропного
материала (древесина, кристаллы, армированные бетон и пластики, слоистые
горные породы и др.) упругие свойства зависят от направления. Напряжение
в
любой точке тела характеризуется шестью величинами - компонентами напряжений:
нормальными напряжениями c, cи
касательными напряжениями c, ccпричём c и т. д. Деформация в любой
точке тела также характеризуется шестью величинами - компонентами деформаций:
относительными удлинениями e,
e, eи сдвигами e, eПричём
e = e.

Осн. физ. законом У. т. является
обобщённый Тука закон, согласно к-рому нормальные напряжения линейно
зависят от деформаций. Для изотропных материалов эти зависимости имеют
вид:

няя (гидростатическая) деформация,
лямбда и мю = G - Ламе постоянные. Т. о., упругие свойства
изотропного материала характеризуются двумя постоянными ч и м или к.-н.
выраженными через них двумя модулями упругости.

Равенство (1) можно также
представить в виде

(гидростатич.) напряжение,
К
- модуль всестороннего сжатия.

Для анизотропного материала
6 зависимостей между компонентами напряжений и деформаций имеют вид:

Из входящих сюда 36 коэфф.
cназ. модулями упругости, 21 между собой независимы и характеризуют
упругие свойства анизотропного материала. Для нелинейного упругого изотропного
материала в равенствах (2) всюду вместо ц входит коэфф. Ф(еа соотношение c = ЗKе заменяется равенством c = f(e) где величина
ef, универсальные
для данного материала, определяются из опытов. Когда Ф(енек-рого критич. значения, возникают пластич. деформации. Законы пластичности
при пропорциональном возрастании нагрузок или напряжений (простое нагружение)
имеют тот же вид, но с др. значениями функций Ф и f (законы теории
малых упруго-пластич. деформаций), а при уменьшении напряжений (разгрузке)
имеют место соотношения (1) или (2), в к-рых вместо c и
e подставляются их приращения (разности двух текущих
значений).

Математическая задача У.
т. при равновесии состоит в том, чтобы, зная действующие внеш. силы (нагрузки)
и т. н. граничные условия, определить значения в любой точке тела компоненты
напряжений и деформаций, а также компоненты иивектора перемещения каждой частицы тела, т. е. определить
эти 15 величин в виде функций от координат х, у, z точек тела. Исходными
для решения этой задачи являются дифференциальные ур-ния равновесия:

где р - плотность материала,
XYZ
- проекции на координатные оси действующей на каждую частицу тела массовой
силы (напр., силы тяжести), отнесённые к массе этой частицы.

К трём ур-ниям равновесия
присоединяются 6 равенств (1) в случае изотропного тела и ещё 6 равенств
вида: e=du/dx,..., 2e =du/dy+ди,..., (5) устанавливающих зависимости между компонентами деформаций
и перемещений.

Когда на часть Sграничной поверхности тела действуют заданные поверхностные силы (напр.,
силы контактного взаимодействия), проекции к-рых, отнесённые к единице
площади, равны Fа для
части Sфф

где lllосями. Первые условия означают, что искомые напряжения должны удовлетворять
на границе Sдолжны удовлетворять на границе Sслучае может быть фповерхности Sплотины массовая сила - сила тяжести, поверхность Sплотины неподвижна, на остальной поверхности Sнапор воды, давление различных надстроек, трансп. средств и т. д.

В общем случае поставленная
задача представляет собой пространственную задачу У. т., решение к-рой
трудно осуществимо. Точные аналитич. решения имеются лишь для нек-рых частных
задач: об изгибе и кручении бруса, о контактном взаимодействии двух тел,
о концентрации напряжений, о действии силы на вершину конич. тела и др.
Т. к. ур-ния У. т. являются линейными, то решение задачи о совместном действии
двух систем сил получается путём суммирования решений для каждой из систем
сил, действующих раздельно (принцип линейной суперпозиции). В частности,
если для к.-н. тела найдено решение при действии сосредоточенной силы в
к.-л.,произвольной точке тела, то решение задачи при произвольном распределении
нагрузок получается путём суммирования (интегрирования). Такие решения,
наз. Грина функциями, получены лишь для небольшого числа тел (неограниченное
пространство, полупространство, ограниченное плоскостью, и нек-рые др.).
Предложен ряд аналитич. методов решения пространственной задачи У. т.:
вариационные методы (Ритца, Бубнова-Галёркина, Ка-стильяно и др.), метод
упругих потенциалов, метод Бетти и др. Интенсивно разрабатываются численные
методы (конечно-разностные, метод конечных элементов и др.). Разработка
общих метедов решений пространственной задачи У. т.- одна из наиболее актуальных
проблем У. т.

При решении плоских задач
У. т. (когда один из компонентов перемещения равен нулю, а два других зависят
только от двух координат) широкое применение находят методы теории функций
комплексного переменного. Для стержней, пластин и оболочек, часто используемых
в технике, найдены приближённые решения мн. практически важных задач на
основе нек-рых упрощающих предположений. Применительно к этим объектам
специфич. интерес представляют задачи об устойчивости равновесия (см. Устойчивость
упругих систем).

В задаче термоупругости определяются
напряжения и деформации, возникающие вследствие неоднородного распределения
темп-ры. При матем. постановке этой задачи в правую часть первых трёх ур-ний
(1) добавляется член-(З лямбда + 2мю)аТ, где а - коэфф. линейного
теплового расширения, T(xзаданное
поле темп-ры. Аналогичным образом строится теория электромагнито-упругости
и упругости подвергаемых облучению тел.

Большой практич. интерес
представляют задачи У. т. для неоднородных тел. В этих задачах коэфф. Ч,
м в ур-нии (1) являются не константами, а функциями координат, определяющими
поле упругих свойств тела, к-рое иногда задают статистически (в виде нек-рых
функций распределения). Применительно к этим задачам разрабатываются статистич.
методы У. т., отражающие статистич. природу свойств поликристаллич. тел.

В динамич. задачах У. т.
искомые величины являются функциями координат и времени. Исходными для
матем. решения этих задач являются дифференциальные ур-ния движения, отличающиеся
от ур-ний (4) тем, что правые части вместо нуля содержат инерционные члены
pd²u2
и т. д. К исходным ур-ниям должны также присоединяться ур-ния (1),
(5) и, кроме граничных условий (6), (7), ещё задаваться начальные условия,
определяющие, напр., распределение перемещений и скоростей частиц тела
в начальный момент времени. К этому типу относятся задачи о колебаниях
конструкций и сооружений, в к-рых могут определяться формы колебаний и
их возможные смены, амплитуды колебаний и их нарастание или убывание во
времени, резонансные режимы, динамич. напряжения, методы возбуждения и
гашения колебаний и др., а также задачи о распространении упругих волн
(сейсмич. волны и их воздействие на конструкции и сооружения, волны, возникающие
при взрывах и ударах, термоупругие волны и т. д.).

Одной из совр. проблем У.
т. является матем. постановка задач и разработка методов их решения при
конечных (больших) упругих деформациях.

Экспериментальные методы
У. т. (метод многоточечного тензо-метрирования, поляризационно-оптиче-ский
метод исследования напряжений, метод муаров и др.) позволяют в нек-рых
случаях непосредственно определить распределение напряжений и деформаций
в исследуемом объекте или на его поверхности. Эти методы используются также
для контроля решений, полученных аналитич. и численными методами, особенно
когда решения найдены при к.-н. упрощающих допущениях. Иногда эффективными
оказываются экспериментально-теоретич. методы, в к-рых частичная информация
об искомых функциях получается из опытов.

Лит.: Ляв А., Математическая
теория упругости, пер. с англ., М. - Л., 1935; Лейбензон Л. С., Курс теории
упругости, 2 изд., М.-Л., 1947; Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные
задачи математической теории упругости, 5 изд., М., 1966; Трёхмерные задачи
математической теории упругости, Тб., 1968; Лурье А. И., Теория упругости,
М., 1970; Стретт Дж. В. (лорд Рэлей), Теория звука, пер. с англ., т. 1
- 2, М., 1955; Теория температурных напряжений, пер. с англ., М., 1964;
Снеддон И. Н., Берри Д. С., Классическая теория упругости, пер. с англ.,
М., 1961; Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Н., Теория упругости, пер. с англ.,
М., 1975. А. А. Ильюшин, В. С. Ленский.