Уравнения тяготения Эйнштейна
В спец. теории относительности в инер-циалъной
системе отсчёта квадрат четырёхмерного "расстояния" в пространстве-времени
(интервала ds) между двумя бесконечно близкими событиями записывается
в виде:
где t - время, х, у, z -
прямоугольные
декартовы (пространственные) координаты. Эта система координат наз.
галилеевой. Выражение (7) имеет вид, аналогичный выражению для квадрата
расстояния в евклидовом трёхмерном пространстве в декартовых координатах
(с точностью до числа измерений и знаков перед квадратами дифференциалов
в правой части). Такое пространство-время называют плоским, евклидовым,
или,
точнее,
псевдоевклидовым, подчёркивая особый характер времени: в выражении
(7) перед (cdt)2стоит знак "+",
в отличие
от знаков "-" перед квадратами дифференциалов пространств. координат. Т.
о., спец. теория относительности является теорией физ. процессов в плоском
пространстве-времени (пространстве-времени Минковского; см. Минковского
пространство).
В пространстве-времени Минковского
не обязательно пользоваться декартовыми координатами, в к-рых интервал
записывается в виде (7). Можно ввести любые криволинейные координаты.
Тогда квадрат интервала ds2 будет выражаться через эти
новые координаты общей квадратичной формой:
(i, k = 0,1,2,3), где x1,
В общей теории относительности пространство-время
При наличии поля Т. величина g Математич. аппаратом, изучающим неевклидову
Осн. задача теории Т.- определение
Уравнения тяготения Эйнштейна связывают
Здесь R Вскоре после создания общей теории
Внешне уравнения (9) подобны
В случае слабых гравитац. полей метрика
Ряд выводов теории Эйнштейна качественно
Чёрные дыры. Согласно теории Эйнштейна,
Следовательно, если тело массы т
В области размером меньше гравитац.
Гравитационные волны. Теория Эйнштейна
Теория Эйнштейна - неквантовая теория.
В подавляющем большинстве мыслимых
гравитации чрезвычайно слабы, и можно
Сингулярные состояния возникают в ходе
Квантовые эффекты приводят к рождению
В основе теории тяготения Эйнштейна
Др. проверкой принципа эквивалентности
Эксперименты в лаборатории подтвердили
Кроме этих экспериментов по проверке
Др. эффектом, тесно связанным с предыдущим,
Наконец, ещё одним эффектом является
Т. о., все имеющиеся экспериментальные
Следует подчеркнуть, что эксперименты
В заключение отметим, что косвенным
Лит.: Эйнштейн А., Собр. научных
И. Д. Новиков.
А
Б
В
Г
Д
Е
Ё
Ж
З
И
Й
К
Л
М
Н
О
П
Р
С
Т
У
Ф
Х
Ц
Ч
Ш
Щ
Ъ
Ы
Ь
Э
Ю
Я
x2,
х3-
произвольные
пространств. координаты, x° =
ct- временная координата (здесь
и далее по дважды встречающимся индексам производится суммирование). С
физ. точки зрения переход к произвольным координатам означает и переход
от инерц. системы отсчёта к системе,
вообще говоря,
движущейся
с ускорением (причём в общем случае разным в разных точках), деформирующейся
и вращающейся, и использование в этой системе недекартовых пространств.
координат. Несмотря на кажущуюся сложность использования таких систем,
практически они иногда оказываются удобными. Но в спец. теории относительности
всегда можно пользоваться и галилеевой системой, в которой интервал записывается
особенно просто. [В этом случае в формуле (8) ди, - О при i =
k, g
не плоское, а искривлённое. В искривлённом пространстве-времени (в конечных,
не малых, областях) уже нельзя ввести декартовы координаты, и
использование криволинейных координат становится неизбежным. В конечных
областях такого искривлённого пространства-времени ds2 записывается
в криволинейных координатах в общем виде (8). Зная g
функции четырёх координат, можно определить все геометрические свойства
пространства-времени. Говорят, что величины g
метрику
пространства-времени, а совокупность всех g
метрическим тензором. С помощью g
пространстве. Так, формула для вычисления бесконечно малого интервала времени
d
Т. Оказывается, что чем сильнее поле, тем медленнее течёт время по сравнению
с течением времени для наблюдателя вне поля.
геометрию (см. Романова геометрия) в произвольных координатах, является
тензорное
исчисление. Общая теория относительности использует аппарат тензорного
исчисления, её законы записываются в произвольных криволинейных координатах
(это означает, в частности, запись в произвольных системах отсчёта),
как
говорят, в ковари-антном виде.
гравитац. поля, что соответствует в теории Эйнштейна нахождению геометрии
пространства-времени. Эта последняя задача сводится к нахождению метрич.
тензора g
величины g
создающую поле: плотностью, потоками импульса и т. п. Эти уравнения
записываются в виде:
тензор Риччи, выражающийся через g
производные по координатам; R = = R
gikопределяются из уравнений g
бm, где бm - Кронекера символ); Т
через плотность, потоки импульса и др. величины, характеризующие материю
и её движение (под физ. материей подразумеваются обычное вещество, электромагнитное
поле, все др. физ. поля).
относительности Эйнштейн показал (1917), что существует возможность изменения
уравнений (9) с сохранением осн. принципов новой теории. Это изменение
состоит в добавлении к правой части уравнений (9) т. н. "космологич. члена":
Лg
имеет
размерность см-2. Целью этого усложнения теории
была попытка Эйнштейна построить модель Вселенной, к-рая не изменяется
со временем (см. Космология). Космологич. член можно рассматривать
как величину, описывающую плотность энергии и давление (или натяжение)
вакуума.
Однако вскоре (в 20-х гг.) сов. математик А. А. Фридман показал,
что
уравнения Эйнштейна без Л-члена приводят к эволюционирующей модели Вселенной,
а амер. астроном Э. Хаббл открыл (1929) закон т. н. красного
смещения для галактик, к-рое было истолковано как подтверждение эволюц.
модели Вселенной. Идея Эйнштейна о статич. Вселенной оказалась неверной,
и хотя уравнения с
Л-чле-ном тоже допускают нестационарные решения
для модели Вселенной, необходимость в Л-члене отпала. После этого Эйнштейн
пришёл к выводу,
что введение Л-члена в уравнения Т. не нужно (т.
е. что Л = 0). Не все физики согласны с этим заключением Эйнштейна.
Но следует подчеркнуть,
что пока нет никаких серьёзных наблюдательных,
экспериментальных или теоретич. оснований считать Л отличным от нуля. Во
всяком случае, если Л=0, то, согласно астро-физич. наблюдениям, его абс.
величина чрезвычайно мала: |Л| < 10-55 см-2.
Он может играть роль только в космологии и практически совершенно не сказывается
во всех др. задачах теории Т. Везде в дальнейшем будет положено Л = 0.
уравнению (4) для ньютоновского потенциала. В обоих случаях слева
стоят величины, характеризующие поле, а справа <- величины, характеризующие
материю, создающую поле. Однако уравнения (9) имеют ряд существ.
особенностей. Уравнение (4) линейно и поэтому удовлетворяет принципу
суперпозиции. Оно позволяет вычислить гравитац. потенциал Ф< для
любого распределения произвольно движущихся масс. Ньютоновское поле Т.
не зависит от движения масс, поэтому уравнение (4) само не определяет
непосредственно их движение. Движение масс определяется из второго закона
механики Ньютона (6). Иная ситуация в< теории Эйнштейна. Уравнения
(9) нелинейны, не удовлетворяют принципу суперпозиции. В теории
Эйнштейна нельзя произвольным образом задать правую часть уравнений (Т
зависящую от движения материи, а затем вычислить гравитац. поле g
уравнений Эйнштейна приводит к совместному определению и движения материи,
создающей поле,< и< к вычислению самого поля. Существенно при
этом, что уравнения поля T. содержат в себе и уравнения движения масс в
поле Т. С физ. точки зрения это соответствует тому, что в теории Эйнштейна
материя создаёт искривление пространства-времени, а это искривление, в
свою очередь, влияет на движение материи, создающей искривление. Разумеется,
для решения уравнений Эйнштейна необходимо знать характеристики материи,
к-рые не зависят от гравитац. сил. Так, напр., в случае идеального газа
надо знать уравнение состояния вещества <- связь между давлением
и плотностью.
пространства-времени мало отличается от евклидовой и уравнения Эйнштейна
приближённо переходят в уравнения (4) и (6) теории Ньютона
(если рассматриваются движения, медленные по сравнению со скоростью света,
и расстояния от источника поля много меньше, чем X< = ст<,
где
т< - характерное время изменения положения тел в источнике
поля). В этом случае можно ограничиться вычислением малых поправок
к уравнениям Ньютона. Эффекты, соответствующие этим поправкам, позволяют
экспериментально проверить теорию Эйнштейна (см. ниже). Особенно
существенны эффекты теории Эйнштейна в сильных гравитац. полях.
Некоторые <выводы теории тяготения
Эйнштейна
отличается от выводов ньютоновской теории Т. Важнейшие из них связаны с
возникновением "чёрных дыр", сингулярностей пространства-времени
(мест, где формально, согласно теории, обрывается существование частиц
и полей в обычной, известной нам форме) и существованием гравитационных
волн.
вторая
космическая скорость в сферич. поле Т. в пустоте выражается той же
формулой, что и в теории Ньютона:
сожмётся
до линейных размеров, меньших величины г =2 Gm/c2, наз.
гравитационным
радиусом, то поле Т. становится настолько сильным, что даже свет не
может уйти от него на бесконечность, к далёкому наблюдателю; для этого
потребовалась бы скорость больше световой. Такие объекты получили название
чёрных дыр. Внешний наблюдатель никогда не получит никакой информации из
области внутри сферы радиуса r = = 2Gm/c2. При сжатии вращающегося
тела поле Т., согласно теории Эйнштейна, отличается от поля невращающегося
тела, но вывод об образовании чёрной дыры остаётся в силе.
радиуса никакие силы не могут удержать тело от дальнейшего сжатия. Процесс
сжатия наз. коллапсом гравитационным. При этом растёт поле Т.- увеличивается
искривлённость пространства-времени. Доказано, что в результате гравитац.
коллапса неизбежно возникает сингулярность пространства-времени, связанная,
по-видимому, с возникновением его бесконечной искривлённости. (Об ограниченности
применимости теории Эйнштейна в таких условиях см. след. раздел.) Теоретич.
астрофизика предсказывает возникновение чёрных дыр в конце эволюции массивных
звёзд (см. Релятивистская астрофизика); возможно существование во
Вселенной чёрных дыр и др. происхождения. Чёрные дыры, по-видимому, открыты
в составе нек-рых двойных звёздных систем.
предсказывает, что тела, движущиеся с переменным ускорением, будут излучать
гравитационные волны. Гравитац. волны являются распространяющимися со скоростью
света переменными полями приливных гравитац. сил. Такая волна, падая, напр.,
на пробные частицы, расположенные перпендикулярно направлению её распространения,
вызывает периодич. изменения расстояния между частицами. Однако даже в
случае гигантских систем небесных тел излучение гравитац. волн и уносимая
ими энергия ничтожны. Так, мощность излучения за счёт движения планет Солнечной
системы составляет ок. 1011 эрг/сек, что в 1022
раз меньше светового излучения Солнца. Столь же слабо гравитац. волны взаимодействуют
с обычной материей. Этим объясняется, что гравитац. волны до сих пор не
открыты экспериментально.
Квантовые эффекты. Ограничения применимости
теории тяготения Эйнштейна
В этом отношении она подобна классич. электродинамике Максвелла. Однако
наиболее общие рассуждения показывают, что гравитац. поле должно подчиняться
квантовым законам точно так же, как и электромагнитное поле. В противном
случае возникли бы противоречия с принципом неопределённости для электронов,
фотонов и т. д. Применение квантовой теории к гравитации показывает, что
гравитац. волны можно рассматривать как поток квантов - "гра-витонов",
к-рые так же реальны, как и кванты электромагнитного поля - фотоны.
Гравитоны
представляют собой нейтральные частицы с нулевой массой покоя и со спином,
равным 2 (в единицах Планка постоянной h).
процессов во Вселенной и в лабораторных условиях квантовые эффекты
пользоваться неквантовой теорией Эйнштейна. Однако квантовые эффекты должны
стать весьма существенными вблизи сингулярностей поля Т., где искривления
пространства-времени очень велики. Теория размерностей указывает, что квантовые
эффекты в гравитации становятся определяющими, когда радиус кривизны пространства-времени
(расстояние, на к-ром проявляются существ. отклонения от геометрии Евклида:
чем меньше этот радиус, тем больше кривизна ) становится равным
величине r
r
неприменима.
гравитац. коллапса; сингулярность в прошлом была в расширяющейся Вселенной
(см. Космология). Последовательной квантовой теории Т., применимой
и в сингулярных состояниях, пока не существует.
частиц в поле Т. чёрных дыр. Для чёрных дыр, возникающих из звёзд и имеющих
массу, сравнимую с солнечной, эти эффекты пренебрежимо малы. Однако они
могут быть важны для чёрных дыр малой массы (меньше 1015 г),
к-рые
в принципе могли возникать на ранних этапах расширения Вселенной (см. "Чёрная
дыра").
Экспериментальная проверка теории
Эйнштейна
лежит принцип эквивалентности. Его проверка с возможно большей точностью
является важнейшей экспериментальной задачей. Согласно принципу эквивалентности,
все тела независимо от их состава и массы, все виды материи должны падать
в поле Т. с одним и тем же ускорением. Справедливость этого утверждения,
как уже говорилось, была впервые установлена Галилеем. Венгерский физик
Л. Этвеш с помощью крутильных весов доказал справедливость принципа эквивалентности
с точностью до 10-8; амер. физик Р. Дикке с сотрудниками довёл
точность до 10-10, а сов. физик В. Б. Брагинский с сотрудниками
- до 10-12.
является вывод об изменении частоты v света при его распространении в гравитац.
поле.
Теория предсказывает (см. Красное смещение) изменение частоты дV
при распространении между точками с разностью гравитац. потенциалов Ф
эту формулу с точностью по крайней мере до 1% (см. Мёссбауэра эффект).
основ теории, существует ряд опытных проверок её выводов. Теория предсказывает
искривление луча света при прохождении вблизи тяжёлой массы. Аналогичное
отклонение следует и из ньютоновской теории Т., однако теория Эйнштейна
предсказывает вдвое больший эффект. Многочисл. наблюдения этого эффекта
при прохождении света от звёзд вблизи Солнца (во время полных солнечных
затмений) подтвердили предсказание теории Эйнштейна (отклонение на 1,75"
у края солнечного диска) с точностью ок. 20%. Гораздо большая точность
была достигнута с помощью совр. техники наблюдения внеземных точечных радиоисточников.
Этим методом предсказание теории подтверждено с точностью (на 1974)
не
меньшей 6%.
является большая длительность времени распространения света в поле Т.,чем
это дают формулы без учёта эффектов теории Эйнштейна. Для луча, проходящего
вблизи Солнца, эта дополнит. задержка составляет ок. 2*10-4
сек. Эксперименты проводились с помощью радиолокации планет Меркурий
и Венера во время их прохождения за диском Солнца, а также с помощью ретрансляции
радиолокационных сигналов космич. кораблями. Предсказания теории подтверждены
(на 1974) с точностью 2%.
предсказываемый теорией Эйнштейна медленный дополнит. (не объясняемый гравитац.
возмущениями со стороны др. планет Солнечной системы) поворот эллиптич.
орбит планет, движущихся вокруг Солнца. Наибольшую величину этот эффект
имеет для орбиты Меркурия - 43" в столетие. Это предсказание подтверждено
экспериментально, согласно совр. данным, с точностью до 1%.
данные подтверждают правильность как положений, лежащих в основе теории
тяготения Эйнштейна, так и её наблюдат. предсказаний.
свидетельствуют против попыток построить др. теории Т., отличные от теории
Эйнштейна.
подтверждением теории тяготения Эйнштейна является наблюдаемое расширение
Вселенной, теоретически предсказанное на основе общей теории относительности
сов. математиком А. А. Фридманом в сер. 20-х гг. нашего столетия.
трудов, т. 1-4, М., 1965-67; Л а н д а у Л., Лифшиц Е., Теория поля, 6
изд., М., 1973; Ф о к В. А., Теория пространства, времени и тяготения,
2 изд., М., 1961; Зельдович Я. Б., Новиков И. Д., Теория< тяготения
и эволюция звёзд, М., 1971; Брумберг В. А., Релятивистская небесная механика,
М., 1972; Брагинский В. Б., Руденко В. Н., Релятивистские гравитационные
эксперименты, "Успехи физических наук", 1970, т. 100, в. 3, с. 395.