Теория тяготения Ньютона

Теория тяготения Ньютона

Первые высказывания о Т. как всеобщем
свойстве тел относятся к античности. Так, Плутарх писал: "Луна
упала бы на Землю как камень, чуть только уничтожилась бы сила её полёта".

В 16 и 17 вв. в Европе возродились
попытки доказательства существования взаимного тяготения тел. Основатель
теоретич. астрономии И. Кеплер говорил, что "тяжесть есть взаимное
стремление всех тел". Итал. физик Дж. Борелли пытался при помощи Т. объяснить
движение спутников Юпитера вокруг планеты. Однако науч. доказательство
существования всемирного Т. и математич. формулировка описывающего его
закона стали возможны только на основе открытых И. Ньютоном законов
механики. Окончат. формулировка закона всемирного Т. была сделана Ньютоном
в вышедшем в 1687 главном его труде "Математические начала натуральной
философии". Ньютона закон тяготения гласит, что две любые материальные
частицы с массами ттпо направлению друг к другу с силой F, прямо пропорциональной произведению
масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния r между ними:

(под материальными частицами здесь
понимаются любые тела при условии, что их линейные размеры много меньше
расстояния между ними; см. Материальная точка). Коэфф. пропорциональности
G наз. постоянной тяготения Ньютона, или гравитационной постоянней.
Числ.
значение G было определено впервые англ. физиком Г. Кавендишем
(1798),
измерившим в лаборатории силы притяжения между двумя шарами. По совр. данным<,
G
= (6,673 ± 0,003)10^-8см3/

Следует подчеркнуть, что сама форма
закона Т. (1) (пропорциональность силы массам и обратная пропорциональность
квадрату расстояния) проверена с гораздо большей точностью, чем
точность определения коэфф. G. Согласно закону (1), сила Т. зависит
только от положения частиц в данный момент времени, т. е. гравитац. взаимодействие
распространяется мгновенно. Другой важной особенностью закона тяготения
Ньютона является тот факт,< что сила Т., с к-рой данное тело А
притягивает
другое тело В, пропорциональна массе тела В.
Но т. к. ускорение,
к-рое получает тело В, согласно второму закону механики, обратно
пропорционально его массе, то ускорение, испытываемое телом В под
влиянием притяжения тела А, не зависит от массы тела В. Это
ускорение носит название ускорения свободного падения. (Более подробно
значение этого факта обсуждается ниже.)

Для того чтобы вычислить силу Т., действующую
на данную частицу со стороны мн. др. частиц (или от непрерывного распределения
вещества в нек-рой области пространства), надо векторно сложить силы, действующие
со стороны каждой частицы (проинтегрировать в случае непрерывного распределения
вещества). Т. о., в ньютоновской теории Т. справедлив принцип суперпозиции.
Ньютон теоретически доказал, что сила Т. между двумя шарами конечных размеров
со сферически симметричным распределением вещества выражается также формулой
(1), где ти тполные массы
шаров, a. r - расстояние между их центрами.

При произвольном распределении вещества
сила Т., действующая в данной точке на пробную частицу, может быть выражена
как произведение массы этой частицы на вектор д, наз. напряжённостью
поля Т. в данной точке. Чем больше величина (модуль) вектора g,
тем
сильнее поле Т.

Из закона Ньютона следует, что поле
Т.- потенциальное поле, т. е. его напряжённость д может быть выражена
как градиент нек-рой скалярной величины ф, наз. гравитационным потенциалом:

Так, потенциал поля Т. частицы массы
т
может
быть записан в виде:

Если задано произвольное распределение
плотности вещества в пространстве, р = = р(r), то теория потенциала
позволяет вычислить гравитац. потенциал ф этого распределения, а следовательно,
и напряжённость гравитац. поля д во всём пространстве. Потенциал
ф определяется как решение Пуассона уравнения:

где Д - Лапласа оператор.

Гравитац. потенциал к.-л. тела
или системы тел может быть записан в виде суммы потенциалов частичек, слагающих
тело или систему (принцип суперпозиции), <т. е. в виде интеграла
от выражений (3):

Интегрирование производится по всей
массе тела (или системы тел), r< - расстояние элемента
массы dm от точки, в к-рой вычисляется потенциал. Выражение (4а)
является
решением уравнения Пуассона (4). Потенциал изолированного тела или
системы тел определяется, вообще говоря, неоднозначно. Так, напр., к потенциалу
можно прибавлять произвольную константу. Если потребовать, чтобы вдали
от тела или системы, на бесконечности, потенциал равнялся нулю, то потенциал
определяется решением уравнения Пуассона однозначно в виде (4а).
Ньютоновская теория Т. и ньютоновская механика явились величайшим достижением
естествознания. Они позволяют описать с большой точностью обширный круг
явлений, в т. ч. движение ес-теств. и искусств. тел в Солнечной системе,
движения в др. системах небесных тел: в двойных звёздах, в звёздных скоплениях,
в галактиках. На основе теории тяготения Ньютона было предсказано существование
неизвестной ранее планеты Нептун и спутника Сириуса и сделаны мн. др. предсказания,
впоследствии блестяще подтвердившиеся. В совр. астрономии закон тяготения
Ньютона является фундаментом, на основе к-рого вычисляются движения и строение
небесных тел, их эволюция, определяются массы небесных тел. Точное определение
гравитац. поля Земли позволяет установить распределение масс под её поверхностью
(гравиметрич. разведка) и, следовательно, непосредственно решать
важные прикладные задачи. Однако в нек-рых случаях, когда поля Т. становятся
достаточно сильными, а скорости движения тел в этих полях не малы по сравнению
со скоростью света, Т. уже не может быть описано законом Ньютона.
Необходимость обобщения закона тяготения
Ньютона

Теория Ньютона предполагает мгновенное
распространение Т. и уже поэтому не может быть согласована со спец. теорией
относительности (см. Относительности теория), утверждающей, что
никакое взаимодействие не может распространяться со скоростью, превышающей
скорость света в вакууме. Нетрудно найти условия, ограничивающие применимость
ньютоновской теории Т. Так как эта теория не согласуется со спец. теорией
относительности, то её нельзя применять в тех случаях, когда гравитац.
поля настолько сильны, что разгоняют движущиеся в них тела до скорости
порядка скорости света с. Скорость, до к-рой разгоняется тело, свободно
падающее из бесконечности (предполагается, что там оно имело пренебрежимо
малую скорость) до нек-рой точки, равна по порядку величины корню
квадратному из модуля гравитац. потенциала ф в этой точке (на бесконечности
ф считается равным нулю). Т. о., теорию Ньютона можно применять
только в том случае, если

В полях Т. обычных небесных тел это
условие выполняется; так, на поверхности Солнца |ф| /с² =
4 10^-6, а на поверхности белых карликов - порядка 10^-3.
Кроме того, ньютоновская теория неприменима и к расчёту движения частиц
даже в слабом поле Т., удовлетворяющем условию (5), если частицы,
пролетающие вблизи массивных тел, уже вдали от этих тел имели скорость,
сравнимую со скоростью света. В частности, теория Ньютона неприменима для
расчёта траектории света в поле Т. Наконец, теория Ньютона неприменима
при расчётах переменного поля Т., создаваемого движущимися телами (напр.,
двойными звёздами) на расстояниях r <> Л = ct, где t - характерное
время движения в системе (напр., период обращения в системе двойной звезды).
Действительно, согласно ньютоновской теории, поле Т. на любом расстоянии
от системы определяется формулой (4а), т. е. положением масс в тот же момент
времени, в к-рый определяется поле. Это означает, что при движении тел
в системе изменения гравитац. поля, связанные с перемещением тел, мгновенно
передаются на любое расстояние r. Но, согласно спец. теории относительности,
изменение поля, происходящее за время т, не может распространяться со скоростью,
большей с.

Обобщение теории Т. на основе спец.
теории относительности было сделано А. Эйнштейном в 1915-16. Новая теория
была названа её творцом общей теорией относительности.
Принцип эквивалентности

Самой важной особенностью поля Т.,
известной в ньютоновской теории и положенной Эйнштейном в основу его новой
теории, является то, что Т. совершенно одинаково действует на разные тела,
сообщая им одинаковые ускорения независимо от их массы, хим. состава и
др. свойств. Так, на поверхности Земли все тела падают под влиянием её
поля Т. с одинаковым ускорением - ускорением свободного падения. Этот факт
был установлен опытным путём ещё Г. Галилеем и может быть сформулирован
как принцип строгой пропорциональности гравитационной, или тяжёлой, массы
mопределяющей взаимодействие тела с полем Т. и входящей
в закон (1), и инертной массы т, определяющей сопротивление
тела действующей на него силе и входящей во второй закон механики Ньютона
(см. Ньютона законы механики). Действительно, уравнение движения
тела в поле Т. записывается в виде:

где а - ускорение, приобретаемое
телом под действием напряжённости гравитац. поля д. Если тпропорциональна
т,
и
коэфф. пропорциональности одинаков для любых тел, то можно выбрать единицы
измерения так, что этот коэфф. станет равен единице, mтогда они сокращаются в уравнении (6), и ускорение а
не зависит
от массы и равно напряжённости
д
поля Т., а = g, в согласии
с законом Галилея. (О совр. опытном подтверждении этого фундаментального
факта см. ниже.)

Т. о., тела разной массы и природы
движутся в заданном поле Т. совершенно одинаково, если их начальные скорости
были одинаковыми. Этот факт показывает глубокую аналогию между движением
тел в поле Т. и движением тел в отсутствие Т., но относительно ускоренной
системы отсчёта. Так, в отсутствие Т. тела разной массы движутся по инерции
прямолинейно и равномерно. Если наблюдать эти тела, напр., из кабины космич.
корабля, к-рый движется вне полей Т. с постоянным ускорением за счёт работы
двигателя, то, естественно, по отношению к кабине все тела будут двигаться
с постоянным ускорением, равным по величине и противоположным по направлению
ускорению корабля. Движение тел будет таким же, как падение с одинаковым
ускорением в постоянном однородном поле Т. Силы инерции, действующие
в космическом корабле, летящем с ускорением, равным ускорению свободного
падения на поверхности Земли, неотличимы от сил гравитации, действующих
в истинном поле Т. в корабле, стоящем на поверхности Земли. Следовательно,
силы
инерции в ускоренной системе отсчёта (связанной с космическим кораблём)
эквивалентны гравитационному полю. Этот факт выражается принципом эквивалентности
Эйнштейна. Согласно этому принципу, можно осуществить и проце-ДУРУ.
обратную описанной выше имитации поля Т. ускоренной системой отсчёта, а
именно, можно "уничтожить" в данной точке истинное гравитац. поле введением
системы отсчёта, движущейся с ускорением свободного падения. Действительно,
хорошо известно, что в кабине космич. корабля,
свободно (с
выключенными двигателями) движущегося вокруг Земли в её поле Т., наступает
состояние невесомости - не проявляются силы тяготения.
Эйнштейн
предположил, что не только механич. движение, но и вообще все физ. процессы
в истинном поле Т., с одной стороны, и в ускоренной системе в отсутствие
Т., с другой стороны, протекают по одинаковым законам. Этот принцип получил
название "сильного принципа эквивалентности" в отличие от "слабого принципа
эквивалентности", относящегося только к законам механики.
Основная идея теории тяготения Эйнштейна

Рассмотренная выше система отсчёта
(космич. корабль с работающим двигателем), движущаяся с постоянным ускорением
в отсутствие поля Т., имитирует только однородное гравитац. поле, одинаковое
по величине и направлению во всём пространстве. Но поля Т., создаваемые
отд. телами, не таковы. Для того чтобы имитировать, напр., сферич. поле
Т. Земли, нужны ускоренные системы с различным направлением ускорения в
различных точках. Наблюдатели в разных системах, установив между собой
связь, обнаружат, что они движутся ускоренно друг относительно друга, и
тем самым установят отсутствие истинного поля Т. Т. о., истинное поле Т.
не сводится просто к введению ускоренной системы отсчёта в< обычном
пространстве, или, говоря точнее, в пространстве-времени спец. теории относительности.
Однако Эйнштейн показал, что если, исходя из принципа эквивалентности,
потребовать, чтобы истинное гравитац. поле было эквивалентно локальным
соответствующим образом ускоренным в каждой точке системам отсчёта, то
в любой конечной области пространство-время окажется искривлённым <-
неевклидовым.
Это означает, что в трёхмерном пространстве геометрия, вообще говоря, будет
неевклидовой (сумма углов треугольника не равна я, отношение длины окружности
к радиусу не равно 2 я< и т. д.), а время в разных точках будет течь
по-разному. Т. о., согласно теории тяготения Эйнштейна, истинное гравитац.
поле является не чем иным, как проявлением искривления (отличия геометрии
от евклидовой) четырёхмерного пространства-времени.

Следует подчеркнуть, что создание теории
тяготения Эйнштейна стало возможным только после открытия неевклидовой
геометрии рус. математиком Н. И. Лобачевским, венг. математиком
Я. Больяй, нем. математиками К. Гауссом и Б. Риманом.

В отсутствие Т. движение тела по инерции
в пространстве-времени спец. теории относительности изображается прямой
линией, или, на математич. языке, экстремальной (геодезической) линией.
Идея Эйнштейна, основанная на принципе эквивалентности и составляющая основу
теории Т., заключается в том, что и в поле Т. все тела движутся по геодезич.
линиям в пространстве-времени, к-рое, однако, искривлено, и, следовательно,
геодезич. линии уже не прямые.

Массы, создающие поле Т., искривляют
пространство-время. Тела, к-рые движутся в искривлённом пространстве-времени,
и в этом случае движутся по одним и тем же геодезич. линиям независимо
от массы или состава тела. Наблюдатель воспринимает это движение как движение
по искривлённым траекториям в трёхмерном пространстве с переменной скоростью.
Но
с самого начала в теории Эйнштейна заложено, что искривление траектории,
закон
изменения скорости - это свойства пространства-времени,
свойства
геодезич. линий в этом пространстве-времени, а следовательно, ускорение
любых различных тел должно быть одинаково и, значит, отношение тяжёлой
массы к инертной [от которого зависит ускорение тела в заданном поле Т.,
см. формулу (6)] одинаково для всех тел, и эти массы неотличимы.
Т. о., поле Т., по Эйнштейну, есть отклонение свойств пространства-времени
от свойств плоского (неискривлённого) многообразия спец. теории
относительности.

Вторая важная идея, лежащая в основе
теории Эйнштейна,- утверждение, что Т., т. е. искривление пространства-времени,
определяется не только массой вещества, слагающего тело,< но
и всеми видами энергии, присутствующими в системе. Эта идея явилась
обобщением на случай теории Т. принципа эквивалентности массы (m) и
энергии (E) спец. теории относительности, выражающейся формулой
Е = тс². Согласно этой идее, Т. зависит не только от
распределения масс в пространстве, но и от их движения, от давления и натяжений,
имеющихся
в телах, от электромагнитного поля и всех др. физ. полей.

Наконец, в теории тяготения Эйнштейна
обобщается вывод спец. теории относительности о конечной скорости распространения
всех видов взаимодействия. Согласно Эйнштейну, изменения грави-тац. поля
распространяются в вакууме со скоростью с.