ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД функциональный
ряд вида

т. е. ряд, расположенный по синусам
и косинусам кратных дуг. Часто Т. р. записываются в комплексной форме

Числа аили
с

Т. р. играют весьма важную роль в математике
и её приложениях. Прежде всего Т. р. дают средства для изображения и изучения
функций и являются поэтому одним из основных аппаратов теории функций.
Далее, Т. р., естественно, появляются при решении ряда задач ма-тематич.
физики, среди к-рых можно отметить задачу о колебании струны, задачу о
распространении тепла и др. Наконец, теория Т. р. способствовала уточнению
основных понятий математич. анализа (функция, интеграл), вызвала
к жизни ряд важных разделов математики (теория интегралов Фурье, теория
почти-периодических функций), послужила одним из отправных пунктов
для развития теории множеств, теории функций действительного переменного
и функционального анализа и положила начало общему гармоническому анализу.

Т. р. впервые появляются в работах
Л. Эйлера ("Введение в анализ бесконечно малых", 1748; Письмо к
X. Гольдбаху от 4 июля 1744), напр.:

действительную часть функции).
Эйлеру же принадлежат первые приложения Т. р. к исследованию колебания
струны (1748); по его мнению, в Т. р. могут быть разложены лишь
те функции, к-рые мы теперь назвали бы кусочно-аналитическими. Формулы
для коэффициентов в разложении

были впервые указаны А. Клеро (1757),
а их вывод посредством почленного интегрирования Т. р. был дан Эйлером
в 1777; впрочем, формулы для а и а
встречаются еще раньше у Ж. Д'Аламбера (1754). Т. р. привлекли
к себе интерес крупнейших математиков 50-70-х гг. 18 в. в связи со спором
о колебании струны. В частности, Д. Бернулли впервые высказал утверждение,
что "произвольная" функция может быть разложена в Т. р. Однако в то время
понятие функции было ещё недостаточно отчётливым (см. Функция). Утверждение,
что функции весьма общего вида действительно могут быть разложены в Т.
р., было вновь высказано и постоянно выдвигалось Ж. Фурье (1811);
он систематически пользовался Т. р. при изучении задач теплопроводности.
Весьма широкий класс Т. р. по праву носит его имя (см. Фурье ряд). После
исследований Фурье Т. р. прочно вошли в математич. физику (С. Пуассон,
М.
В.
Остроградский). Существенный прогресс теории Т. р. в 19 в. был связан
с уточнением основных понятий математич. анализа и созданием теории функций
действительного переменного. Так, П. Дирихле (1837), уточнив
понятие произвольной функции, получил первый общий признак сходимости рядов
Фурье; Г. Ф. Б. Риман исследовал понятие интеграла и установил
необходимое и достаточное условие интегрируемости функций в связи с исследованиями
по Т. р.; исследования, относящиеся к изображению функций Т. р., привели
Г. Кантора к созданию теории множеств; наконец, А.
Лебег
(1902-06),
применив развитые им понятия меры и интеграла к теории Т. р., придал ей
современный вид. Важный вклад в теорию Т. р. внесли Н. Н. Лузин, Д.
Е. Меньшов и др.

Лит.: Лузин Н. Н., Интеграл
и тригонометрический ряд, М.- Л., 1951; Бари Н. К., Тригонометрические
ряды, М., 1961; Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., 2 изд.,
т. 1 - 2, М., 1965.