ТИПОВ ТЕОРИЯ
в логике, система
расширенного исчисления предикатов или аксиоматической теории
множеств, включающая переменные различных "типов" (сортов, ступеней,
порядков). Формальные объекты этой теории, согласно системе Рассела
- Уайтхеда, разделяются на типы: предметы (индивиды), предикаты,
предикаты от предикатов и т. д. [объекты n-ro типа - это предикаты
от объектов (n-1)-го и, быть может, меньших типов"]. При
"двойственной" формулировке Т. т. как аксиоматич. теории множеств объекты
n-ro
типа суть множества объектов (n-1)-го (и, быть может, меньших)
типа.
Соответственно, принцип свёртывания (абстракции принцип),
неограниченное
пользование к-рым в расширенном исчислении предикатов и в теории множеств
приводит к парадоксам, звучит теперь несколько по-другому: "для
всякой предикатной формулы со свободной переменной
x,
не содержащей
объектов выше (n-1)-го типа, существует предикат п-г о типа,
истинный для тех и только тех значений x, для к-рых истинна данная
формула", или "для любого свойства, в формулировке к-рого используются
множества не выше (п-1)-го т ип а, существует множество n-ro
типа, состоящее из тех и только тех предметов, к-рые обладают этим свойством".
В обеих формулировках выделены слова, добавление к-рых отличает теоретико-типовую
форму аксиомы свёртывания от обычной и к-рые препятствуют возникновению
в Т. т. парадоксов, возникающих в "наивной" теории множеств, в т. ч. парадокса
Рассела о "множестве всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента
".
Однако математика, построенная на
базе Т. т., оказывается, как показывает внимательный анализ, существенно
более бедной, чем обычная классич. математика. Поэтому Рассел ввёл в свою
систему т. н. аксиому -сводимости, постулирующую, грубо говоря, для каждого
множества (предиката) я-го типа существование эквивалентного ему
множества 1-го типа. Но уже для этой аксиомы ни на какое "чисто логическое"
обоснование математики, как показал сам Рассел, рассчитывать не приходилось
(в силу чего программа логицизма выведения всей математики из "чистой"
логики оказывалась невыполнимой).
Лит.: ГильбертД., Аккерман
В., Основы теоретической логики, пер. с нем., М., 1947, гл. 4 и прйлож.
1; Ван X а о, Мак-Нотон Р., Аксиоматические системы теории множеств, пер.
с франц., М., 1963, гл. 1-2, 5-6; Френкель А., БарХил л е л И., Основания
теории множеств, пер. с англ., М., 1966, гл. 1, 3 (лит.); Andrews Р. В.,
A transfinite type theory with type variables, Amst., 1965.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я