ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ УРАВНЕНИЕ

ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ УРАВНЕНИЕ дифференциальное
уравнение с частными производными параболич. типа, описывающее процесс
распространения теплоты в сплошной среде (газе, жидкости или твёрдом теле);
основное уравнение математич. теории теплопроводности. Т. у. выражает
тепловой баланс для малого элемента объёма среды с учётом поступления теплоты
от источников и тепловых потерь через поверхность элементарного объёма
вследствие теплопроводности. Для изотропной неоднородной среды Т. у. имеет
вид:

где р - плотность среды; c- теплоёмкость среды при постоянном объёме; t - время; x,
у,
z - координаты; Т= T(x,y,z,t) - темп-pa, к-рая вычисляется
при помощи T. у.; X - коэфф. теплопроводности; F = F(x,y,z,t)
- заданная плотность тепловых источников. Величины p,cX
зависят от координат и, вообще говоря, от темп-ры. Для анизотропной среды
Т. у. вместо X содержит тензор теплопроводности Хй, где i, k
= 1, 2, 3.

В случае изотропной однородной среды
Т. у. принимает вид:

где ДТ - Лапласа оператор;

- коэфф. температуропроводности;

В стационарном состоянии, когда темп-pa
не меняется со временем, Т. у. переходит в Пуассона уравнениеили,
при отсутствии источников теплоты, в Лапласа уравнениеОсновными
задачами для Т. у. является Коши задача и смешанная краевая задача
(см. Краевые задачи).

Первые исследования Т. у. принадлежат
Ж. Фурье (1822) и С. Пуассону (1835). Важные
результаты в исследовании Т. у. были получены И. Г. Петровским, А. H.
Тихоновым,
С. Л. Соболевым.

Лит.: Карслоу Г. С., Теория
теплопроводности, пер. с англ., М.- Л., 1947; Владимиров В. С., Уравнения
математической физики, М., 1967; Т и х о н о в А. H., Самарский А. А.,
Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966. Д. H. Зубарев.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я