СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ функция
f(x)
= х^а, где а - фиксированное число (см. Степень).
При
действительных значениях основания хи показателя а обычно рассматривают
лишь действительные значения С. ф. х^а. Они существуют,
во всяком случае, для всех х> О; если а - рациональное число с нечётным
знаменателем, то они существуют также для всех х < О; если же
знаменатель рационального числа а чётный, либо если а иррационально,
то х^а не имеет действительного значения ни при каком
х < О. При х = О степенная функция х^а равна
нулю для всех а
> О и не определена при а < О; 0° определённого
смысла не имеет. С. ф. (в области действительных значений) однозначна,
за исключением тех случаев, когда а - рациональное число, изображаемое
несократимой дробью с чётным знаменателем: в этих случаях она двузначна,
причём её значения для одного и того же значения аргумента х > О
равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Обычно тогда
рассматривается только неотрицательное, или арифметическое, значение С.
ф. Для х > О С. ф.- возрастающая, если а > О, и убывающая,
если а < О. С. ф. непрерывна и дифференцируема во всех точках
её области определения, за исключением точки х = О, в случае О <
а
< 1 (когда непрерывность сохраняется, но производная обращается
в бесконечность); при этом (х^а)' = ах^а-1. Далее,

в любом интервале, содержащемся в области
определения подинтегральной функции.

Функции вида у = сх^а,
где
с
- постоянный коэффициент, играют важную роль в математике и её приложениях;

при а = 1 эти функции выражают прямую
пропорциональность (их графики-прямые, проходящие через начало координат,
см. рис. 1), при а = - 1 - обратную пропорциональность (графики
- равносторонние гиперболы с центром в начале координат, имеющие оси координат
своими асимптотами, см. рис. 2). Mн. законы физики математически выражаются
при помощи функций вида у = сх^а (см. рис. 3);
напр., у = сх² выражает закон равноускоренного или равнозамедленного
движения (у - путь, х - время, 2с - ускорение; начальные
путь и скорость равны нулю).

В комплексной области С. ф. z^аопределяется
для всех z <> 0 формулой:

z^a = e^aLnz = e<sup>a(ln|z|
+ i arg r + 2ki)</sup>
(*)

где k = 0,± 1, ± 2, ... . Если а
- целое, то С. ф. z^a однозначна:

z^a = |z|^ae^{ia
arg z}

Если а - рациональное
(а = p/q,
гдеи
q
взаимно
просты), то С. ф. z^a принимает
q
различных значений:

(za)k = |z|^ae^{ia arg
z}

где= е^2kлi/q - корни степени q из единицы:= 1 и k = О, 1, ..., q - 1. Если а - иррациональное,
то С. ф. z^a - бесконечнозначна: множитель е^a2kлiпринимает
для разных k различные значения. При комплексных значениях
а
С.
ф. z^a определяется той же формулой (*). Напр.,

z¹ = e^{i(ln|z|+i arg
z + 2kлi)} = e^{iln|z|-arg z-2kл},

так что, в частности, i¹
= e^-л/2-2кл, где k =0,± 1 , ± 2, ...
.

Под главным значением (z^а)
C. ф. понимается её значение при k = О, если -л<arg z <=л
(или 0=<arg z<2).
Так, (z^a)a|e^{ia arg z}
,(i)-/2
и т. д.