Главная > База знаний > Большая советская энциклопедия > СТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС

СТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС

СТАЦИОНАРНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС
важный спец. класс случайных процессов, часто встречающийся в приложениях
теории вероятностей к различным разделам естествознания и техники. Случайный
процесс X(t) наз. стационарным, если все его вероятностные характеристики
не меняются с течением времени t (так что, напр., распределение
вероятностей величины X(O при всех t является одним и тем же, а
совместное распределение вероятностей величин Х(tX(tзависит
только от продолжительности промежутка времени t,
т.
е. распределения пар величин {X(t+ s}, X(t+
s)} одинаковы при любых ttи s и т. д.).

Схема С. с. п. с хорошим приближением описывает
многие реальные явления, сопровождающиеся неупорядоченными флуктуациями.
Так, напр., пульсации силы тока или напряжения в электрич. цепи (электрич.
"шум") можно рассматривать как С. с. п., если цепь эта находится в стационарном
режиме, т. е. если все её макроскопич. характеристики и все условия, вызывающие
протекание через неё тока, не меняются во времени; пульсации скорости в
точке турбулентного течения представляют собой С. с. п., если не меняются
общие условия, порождающие рассматриваемое течение (т. е. течение является
установившимся), и т. д. Эти и другие примеры С. с. п., встречающиеся в
физике (в частности, гео- и астрофизике), механике и технике, стимулировали
развитие исследований в области С. с. п.; при этом существенными оказались
также и нек-рые обобщения понятия С. с. п. (напр., понятия случайного процесса
со стационарными приращениями заданного порядка, обобщённого С. с. п. и
однородного случайного поля).

В математяч. теории С. с. п. осн. роль
играют моменты распределений вероятностей значений процесса X(t). являющиеся
простейшими числовыми характеристиками этих распределений. Особенно важны
моменты первых двух порядков: среднее значение С. с. п. EX(t) = т -
математич. ожидание случайной величины X(t) и корреляционная функция С.
с. п. ЕХ(tожидание произведения X(tчерез дисперсию величин Х(tX(tКорреляция). Во многих
математич. исследованиях, посвящённых С. с. п., вообще изучаются только
те их свойства, к-рые полностью определяются одними лишь характеристиками
т
и
В( $\tau$ ) (т. н. корреляционная
теория С. с. п.). В этой связи случайные процессы X(t), имеющие постоянное
среднее значение EX(t) = т и корреляционную функцию В(ttот tчасто наз. С. с. п. в широком
смысле (а более частные случайные процессы, все характеристики к-рых не
меняются с течением времени, в таком случае наз. С. с. п. в узком смысле).

Большое место в математич. теории С. с.
п. занимают исследования, опирающиеся на разложение случайного процесса
X(O и его корреляционной функции B(tв интеграл Фурье, или Фурье-Стилтьеса (см. Фурье интеграл). Осн.
роль при этом играет теорема Хинчина, согласно к-рой корреляционная функция
С. с. п. X(t) всегда может быть представлена в виде

где F( $\lambda$ )
- монотонно неубывающая функция $\lambda$
(а интеграл справа - это интеграл Стилтьеса); если же В( $\tau$ )
достаточно быстро убывает при | $\tau$ |->бескон.
(как это чаще всего и бывает в приложениях при условии, что под X(t) понимается
на самом деле разность X(t) - т), то интеграл в правой части (1)
обращается в обычный интеграл Фурье:

где f( $\lambda$ )
=
F'( $\lambda$ )
- неотрицат. функция. Функция F( $\lambda$ )
наз. спектральной функцией С. с. п. X(t), а функция f( $\lambda$ )
[в случаях, когда имеет место равенство (2)] - его спектральной плотностью.
Из теоремы Хинчина вытекает также, что сам процесс X(t) допускает спектральное
разложение вида

где Z( $\lambda$ )-
случайная функция с некоррелированными приращениями, а интеграл справа
понимается как предел в среднем квадратичном соответствующей последовательности
интегральных сумм. Разложение (3) даёт основание рассматривать любой С.
с. п. X(t) как наложение некоррелированных друг с другом гармонич. колебаний
различных частот со случайными амплитудами и фазами; при этом спектральная
функция F( $\lambda$ ) и спектральная
плотность f( $\lambda$ ) определяют
распределение средней энергии входящих в состав X(t) гармонич. колебаний
по спектру частот $\lambda$
(в связи с чем в прикладных исследованиях функция f( $\lambda$ )
часто
наз. также энергетич. спектром или спектром мощности С. с. п. X(t)

Выделение понятия С. с. п. и получение
первых относящихся к нему математич. результатов являются заслугой E. E.
Слуцкого
и
относятся к кон. 20-х и нач. 30-х гг. 20 в. В дальнейшем важные работы
по теории С. с. п. были выполнены А. Я. Хинчиным, A. H. Колмогоровым,
Г.
Крамером,
H. Винером и др.

Лит.: Слуцкий E. E., Избр. тр.,
M., 1960; X и н ч и н А. Я., Теория корреляции стационарных стохастических
процессов, "Успехи математических наук", 1938, в. 5, с. 42 - 51; Розанов
Ю. А., Стационарные случайные процессы, M., 1963; Прохоров Ю. В., Розанов
Ю. А., Теория вероятностей. (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные
процессы), 2 изд., M., 1973; Гихман И. И., Скороход А. В., Теория случайных
процессов, т. 1,М., 1971; X е н н а н Э., Многомерные временные ряды, пер.
с англ., M., 1974.

A. M. Яглом.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я