СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ раздел
математич. статистики, посвящённый методам обработки и использования статистич.
данных, касающихся случайных процессов
(т. е. функций X(t) времени
t, определяемых с помощью нек-рого испытания и при разных испытаниях могущих

в зависимости от случая принимать различные
значения). Значение x(t) случайного процесса X(t), получаемое в
ходе одного испытания, наз. реализацией (иначе - наблюдённым значением,
выборочным значением или траекторией) процесса X(t); статистич. данные
о X(t), используемые при статистич. анализе этого процесса, обычно представляют
собой сведения о значениях одной или неск. реализаций x(t) в течение опреде
ленного промежутка времени или же о значениях каких-либо величин, связанных
с процессом X(t) (напр., о наблюдённых значениях процесса Y(t), являющегося
суммой X(t) и нек-рого "шума" N(t), созданного внешними помехами и ошибками
измерения значений x(t)). Весьма важный с точки зрения приложений
класс задач С. а. с. п. представляют собой задачи обнаружения сигнала на
фоне шума, играющие большую роль при радиолокации. С математич. точки зрения
эти задачи сводятся к статистической проверке гипотез: здесь по
наблюдённым значениям нек-рой функции требуется заключить, справедлива
ли гипотеза о том, что функция эта является реализацией суммы шума N(t)
и интересующего наблюдателя сигнала X(t), чти же справедлива гипотеза о
том, что она является реализацией одного лишь шума N(t).- В случаях, когда
форма сигнала X(t) не является полностью известной, задачи обнаружения
часто включают в себя и задачи статистической оценки неизвестных
параметров сигнала; так, напр., в задачах радиолокации очень важна задача
об оценке времени появления сигнала, определяющего расстояние до объекта,
породившего этот сигнал. Задачи статистич. оценки параметров возникают
и тогда, когда по данным наблюдений за значениями процесса X(t) в течение
определённого промежутка времени требуется оценить значения каких-то параметров
распределения вероятноегей случайных величин X(t) или же, напр., оценить
значение в фиксированный момент времени t = t самого
процесса X(t) (в предположении, что tнаблюдений за этим процессом) или значение y(tкакого-либо
вспомогат. процесса Y(t). статистически связанного с X(t) (см. Случайных
процессов прогнозирование). Наконец, ряд задач С. а. с. п. относится
к числу задач на непарачетрические методы статистики; так обстоит
дело, в частности, когда по наблюдениям за течением процесса X(t) требуется
оценить нек-рые функции, характеризующие распределения вероятностей значений
этого процесса (напр., плотность вероятности величины Х(t), или корреляционную
функцию EX(t)X(s) процесса X(t), или, в случае стационарного случайного
процесса X(t), его спектральную плотность f()).

При решении задач С. а. с. п. всегда требуется
принять те или иные специальные предположения о статистнч. структуре процесса
X(t), т. е. как-то ограничить класс рассматриваемых случайных процессов.
Очень ценным с точки зрения С. а. с. п. является допущение о том, что рассматриваемый
процесс X(t) является стационарным случайным процессом; при этом допущении,
зная значения единственной реализации x(t)
в течение промежутка
времени 0 <= t <= T, можно уже получить целый ряд статистич.
выводов о вероятностных характеристиках процесса Х(t). В частности, среднеарифметнч.
значение

в случае стационарного случайного процесса
X(t) при весьма широких условиях является состоятельной оценкой матема-тич.
ожидания EX(t) = т (т. е. XT сходится при Т-> бескон. к истинному
значению оцениваемой величины т); аналогично этому выборочная корреляционная
функция

где>0,
при широких условиях является состоятельной оценкой корреляционной функции

B()
= EX(t) X (t +).

Однако Фурье преобразование
функции
В*)-
так
называемая периодограмма I()
процесса X(t) - уже не представляет собой состоятельной оценки спектральной
плотности f(), являющейся
преобразованием Фурье функции В();
при
больших значениях T периодограмма 1)
ведёт
себя крайне нерегулярно и при T -> бескон. она не стремится ни к
какому пределу. Поэтому С. а. с. п. включает в себя ряд специальных приёмов
построения состоятельных оценок спектральной плотности f()
по наблюдённым значениям одной реализации стационарного процесса X(t),
большинство из к-рых основано на использовании сглаживания периодограммы
процесса по сравнительно узкой области частот.

При исследовании статистич. свойств оценок
вероятностных характеристик стационарных случайных процессов очень полезными
оказываются дополнительные допущения о природе X(t) (напр., допущение о
том, что все конечномерные распределения значений процесса X(t) являются
нормальными распределениями вероятностей). Большое развитие получили также
исследования по С. а. с. п., в к-рых предполагается, что изучаемый процесс
X(t) является марковским процессом того или иного типа, или компонентой
многомерного марковского процесса, или компонентой многомерного процесса,
удовлетворяющего определённой системе стохастических дифференциальных уравнений.

Лит.: Дженкинс Г., Ватте Д., Спектральный
анализ и его приложения, игр. с англ.,в. 1 - 2, M., 1971 -72; Хеннан О.,
Анализ временных рядов, пер. с англ., M., 1964; его же, Многомерные временные
ряды, пер. с англ., M., 1974; Лчпцер Р. Ш., Ширяев A. H., Статистика случайных
процессов (нелинейная фильтрация и смежные вопросы), M., 1974.

A. M. Яглом.