СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МНОГОМЕРНЫЙ

СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МНОГОМЕРНЫЙ в
широком смысле - раздел математической статистики,
объединяющий
методы изучения статистич. данных, относящихся к объектам, к-рые характеризуются
неск. качественными или количественными признаками. Наиболее разработана
часть С. а. м., основанная на допущении, что результаты отдельных наблюдений
независимы и подчинены одному и тому же многомерному
нормальному распределению
(обычно
именно к этой части применяют термин С. а. м. в узком смысле). Иными словами,
результат Xj наблюдения с номером j можно представить вектором

Х...,X

где случайные величины Xимеют
математическое
ожиданиедисперсию²k,
а коэффициент корреляции между Xи Xравен
ры.
Вектор
математич. ожиданий =
(и ковариационная матрица
с элементамиpявляются основными параметрами, полностью
определяющими распределение векторов XXn - результатовнезависимых
наблюдений. Выбор многомерного нормального распределения в качестве основной
математич. модели С. а. м. отчасти может быть оправдан след, соображениями:
с одной стороны, эта модель приемлема для большого числа приложений, с
другой - только в рамках этой модели удаётся вычислить точные распределения
выборочных характеристик. Выборочное среднее

X = 1/n(X
и выборочная ковариационная матрица

[где (XX)' обозначает
транспонированный вектор (Xсм.
Матрица]
суть
оценки максимального правдоподобия соответствующих параметров совокупности.
Распределение X нормально (,1/n),
а совместное распределение элементов ковариационной матрицы S, т. н. распределение
Уишарта, является естественным обобщением "хи-квадрат" распределения
и
играет значит, роль в С. а. м.

Ряд задач С. а. м. более или менее аналогичен
соответствующим одномерным задачам (напр., задача проверки гипотез о равенстве
средних значений в двух независимых выборках). Другого типа задачи связаны
с проверкой гипотез о независимости тех или иных групп компонент векторов
Xпроверкой
таких специальных гипотез, как гипотеза сферической симметрии распределения
Xи
т. д. Необходимость разобраться в сложных взаимосвязях между компонентами
случайных векторов
Xставит новые проблемы. В целях
сокращения числа рассматриваемых случайных признаков (уменьшения размерности)
или сведения их к независимым случайным величинам применяются метод главных
компонент и метод канонических корреляций. В теории главных компонент осуществляется
переход от векторов XY.
При этом, напр., Yвсех нормированных линейных комбинаций компонент Xi; Yнаибольшую дисперсию среди всех линейных функций компонент Xi, не коррелированных
с Yи т. д. В теории канонич. корреляций каждое из
двух множеств случайных величин (компонент Xв новое множество т. н. канонич. величин так, что внутри каждого множества
коэффициенты корреляции между величинами равны О, первые координаты каждого
множества имеют максимальную корреляцию, вторые координаты имеют наибольшую
корреляцию из оставшихся координат и т. д. (упорядоченные т. о. корреляции
наз. каноническими). Последний метод указывает максимальную корреляцию
линейных функций от двух групп случайных компонент вектора наблюдения.
Выводы методов главных компонент и канонич. корреляций помогают понять
структуру изучаемой многомерной совокупности. Сходным целям служит и факторный
анализ, в схеме к-рого предполагается, что компоненты случайных векторов
Xподлежащих изучению. В рамках С. а. м. рассматривается и проблема дифференциации
двух или большего числа совокупностей по результатам наблюдений. Одна часть
проблемы заключается в том, чтобы на основе анализа выборок из неск. совокупностей
отнести новый элемент к одной из них (дискриминация), другая - в том, чтобы
внутри совокупности разделить элементы на группы, в определённом смысле
максимально отличающиеся друг от друга.

Лит.: Андерсон Т., Введение в многомерный
статистический анализ, пер. с англ., M., 1963; К е
d a I 1 M. G., StuartA., The advanced theory of statistics,.
3, L., 1966; DempsterA. P., Elements of con-tinuons multivariate analysis,
L., 1969.

А. В. Прохоров.