СРАВНЕНИЕ
(матем.), соотношение
между двумя целыми числами а и Ь, означающее, что разность
а
- b этих чисел делится на заданное целое число т,
наз. модулем
С.; пишется а = b (mod т). Напр., 2 = 8 (mod 3), т. к. 2-8
делится на 3. С. обладают многими свойствами, аналогичными свойствам равенств.
Напр., слагаемое, находящееся в одной части С., можно перенести с обратным
знаком в другую часть, т. е. из а + b = с
(mod
т)
следует,
что а ? с - b (mod т). С. с одним и тем же модулем можно
складывать, вычитать и умножать, т. е. из а = b (mod
т)
и
с
= d (mod т) следует, что а + с = b + d
(mod
т),
а - с = = b - d (mod
т), ас = bd (mod
т).
Далее,
обе части С. можно умножать на одно и то же целое число, обе части С. можно
разделить на их общий делитель, если последний взаимно прост с модулем.
Если же общий наибольший делитель числа, на к-рое делят обе части С., и
модуля т есть d, то после деления получают С. по модулю mid.
B
теории чисел рассматриваются методы решения различных С., т. е. методы
отыскания целых чисел, удовлетворяющих С. того или иного вида. Если число
х
является
решением нек-рого С. по модулю
т,
то любое число вида
х + km
(k - целое число) также является решением этого С. Совокупность чисел
вида х + km (k = ...,-1, 0,1,...) наз. классом по модулю т.
Решения
С. по модулю
т,
принадлежащие к одному и тому же классу по модулю
т,
не считаются различными, так что числом решений С. по модулю
т наз.
число решений, принадлежащих к различным классам по модулю
т. С. первой
степени с одним неизвестным всегда может быть приведено к виду ах =
b(mod m). Оно не имеет решений, если
b не делится на общий наибольший
делитель
а
и
т,
к-рый обозначим d,
и имеет d решений,
если
b
делится на
d. Теория
квадратичных вычетов и
степенных
вычетов
по модулю т есть теория С. вида соответственно
х2
= a
(mod т) и
хn = a (mod
т). Понятие
С. для целых чисел может быть обобщено, а именно: можно говорить о сравнимости
двух элементов кольца
по идеалу.
Лит.: Виноградов И. M., Основы теории
чисел, 8 изд., M., 1972; Хассе Г., Лекции по теории чисел, пер. с нем.,
M., 1953.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я