Главная > База знаний > Большая советская энциклопедия > СПИРАЛИ

СПИРАЛИ

СПИРАЛИ (франц., ед. ч. spirale,
от лат. spira, греч. speira - виток), плоские кривые линии, бесчисленное
множество раз обходящие нек-рую точку, с каждым обходом приближаясь к ней
или с каждым обходом удаляясь от неё. Если выбрать эту точку за полюс полярной
системы координат, то полярное уравнение С. P =f ( $\varphi$ )
таково, что f( $\varphi$ +
2л)
> f( $\varphi$ ) или f( $\varphi$
+ 2л) < f( $\varphi$ )
при всех $\varphi$ . В частности,
С. получаются, если f( $\varphi$ )
- монотонно возрастающая или убывающая положительная функция. Наиболее
простой вид имеет ур-ние архимедовой С. (см. рис.): $\rho$
= $\alpha$ $\varphi$ ,
изученной
др.-греч. математиком Архимедом (3 в. до н. э.) в связи с задачами трисекции
угла и квадратуры круга в сочинении "О спиралях". Архимед нашёл площадь
сектора этой С., что было одним из первых примеров квадратуры криволинейной
области. Архимедова С. является подерой (см. Подера и антиподера) эвольвенты
круга (см. Эволюта и эвольвента), что используется в нек-рых конструкциях
разводных мостов для уравновешивания переменного натяжения цепи. Если эксцентрик
ограничен дугами архимедовой С. (сердцевидный эксцентрик), то он преобразует
равномерное вращат. движение в равномерное поступательное, причём расстояние
между диаметрально противоположными точками эксцентрика постоянно. Франц.
математик П. Ферма исследовал обобщённые архимедовы С. ( $\rho$ / $\alpha$ )ⁿ
= = ( $\varphi$ /2л)^m
и нашёл площадь их сектора. Ур-ние $\rho$
= ае^kзадаёт
логарифмич. С. (см. рис.). Логарифмич. С. пересекает под одним и тем же
углом $\alpha$ все радиус-векторы,
проведённые из полюса, причём ctg $\alpha$
= к. Это свойство логарифмич. С. используется при проектировании
вращающихся ножей, фрез и т. д. для достижения постоянства угла реза-

ния. Логарифмич. С. встречается также в
теории спиральных приводов к гидрав-лич. турбинам и т. д. В теории зубчатых
колёс используется возможность качения без скольжения одной логарифмич.
С. по другой, равной с ней, когда обе С. вращаются вокруг своих полюсов.
При этом получаются зубчатые передачи с переменным передаточным числом.
При стереографической проекции плоскости на сферу логарифмич. С.
переходит в локсодромию (кривую, пересекающую все меридианы под одним и
тем же углом). Определение длин дуг логарифмич. С. дано итал. учёным Э.
Торричелли. Длина дуги логарифмич. С. пропорциональна разности длин радиус-векторов,
проведённых в концы дуги, точнее равна

(p.
Швейц. учёный Я. Бернулли no-cos $\alpha$

казал, что эволюта и каустика (см. Kaустическая
поверхность) логарифмич. С. являются логарифмич. С. При вращении вокруг
полюса логарифмич. С. получается кривая, гомотетичная (см. Гомотетия)
исходной.
При инверсии логарифмич. С. переходит в логарифмич. С.

Из других С. практич. значение имеет Корню
С. (или клотоида), применяемая при графич. решении нек-рых задач дифракции
(см. рис.). Параметрич. ур-ние этой С. имеет вид:

Корню С. является идеальной переходной
кривой для закругления железнодорожного пути, так как её радиус кривизны
возрастает пропорционально длине дуги. С. являются также эвольвенты замкнутых
кривых, напр, эвольвента окружности.

Назв. нек-рым С. даны по сходству их полярных
ур-ний с ур-ниями кривых в декартовых координатах, напр, параболическая
С. (см. рис.): (а-р)² = = b $\varphi$ ,
гиперболич.
С. (см. рис.): $\rho$ = $\beta$ / $\varphi$ .
К С. относятся также жезл (см. рис.): $\rho$ ²
= $\alpha$ / $\varphi$ и
si-ci-спираль, параметрич. ур-ния к-рой имеют вид:

[si (t) и ci (t) - интегральный синус
и интегральный косинус]. Кривизна si-ci-спирали изменяется с длиной
дуги по закону показательной функции. Такие С. применяют в качестве профиля
для лекал.

Напоминает С. кривая $\rho$
= a sin $\varphi$ / $\varphi$ .
наз. кохлеоидой (см. рис.). Она бесконечное множество раз проходит через
полюс, причём каждый следующий завиток лежит в предыдущем.

С. встречаются также при рассмотрении особых
точек в теории дифференциальных ур-ний (см. Особые точки).

С. иногда наз. также пространств, кривые,
делающие бесконечно много оборотов вокруг нек-рой оси, напр, винтовая линия.

Лит. см. при ст. Линия.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я