Главная > База знаний > Большая советская энциклопедия > СОФОКУСНЫЕ КРИВЫЕ

СОФОКУСНЫЕ КРИВЫЕ

СОФОКУСНЫЕ КРИВЫЕ конфокальные
кривые [от лат. con (cum) - с, вместе и фокус], линии второго порядка,
имеющие
общие фокусы. Если F и F' - две данные точки плоскости, то через
каждую точку плоскости проходит один эллипс и одна гипербола, имеющие F
и F' своими фокусами (рис. 1).

Каждый эллипс ортогонален любой софокусной
с ним гиперболе, т. е. пересекается с ней (в четырёх точках) под прямым
углом (углом между двумя кривыми в точке пересечения наз. угол между их
касательными). Всё множество софокусных эллипсов и гипербол в надлежащей
системе координат определяется ур-нием

где с - расстояние фокусов от начала
координат, а $\lambda$
- переменный параметр. При $\lambda$ >с²
это ур-ние определяет эллипс, при 0< $\lambda$ <с²
- гиперболу (при $\lambda$
<0 - мнимую линию 2-го порядка). Если один из фокусов стремится к бесконечности,
то в пределе получаются два семейства софокусных парабол (рис. 2); любые
две параболы, относящиеся к разным семействам, также ортогональны друг
другу. При помощи софокусных эллипсов и гипербол на плоскости вводится
система т. н. эллиптических координат. Именно, если М(х,у) -
произвольная
точка плоскости, то, подставляя ее координаты х и у в ур-ние (*),
получим квадратное уравнение для $\lambda$ ;
корни его $\lambda$ $\iota$ , $\lambda$ и наз. эллиптич. координатами точки M. Сами софокусные эллипсы и
гиперболы составляют координатную сеть эллиптич. координатной системы,
т. е. определяются ур-ниями $\lambda$ $\iota$
= const, $\lambda$ = const.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я