РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ

РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ многомерное
обобщение геометрии на поверхности, представляющее собой теорию римановых
пространств, т. е. таких пространств, где в малых областях приближённо
имеет место евклидова геометрия (с точностью до малых высшего порядка сравнительно
с размерами области). Р. г. получила своё название по имени Б. Римана,
к-рый
заложил её основы в 1854.

Понятие о римановой геометрии. Гладкая
поверхность в евклидовом пространстве, рассматриваемая с точки зрения измерений,
производимых на ней, оказывается двумерным пространством, геометрия к-рого
(т. н. внутренняя геометрия), будучи приближённо евклидовой в малом
(в окрестности любой точки она совпадает с точностью до малых высшего порядка
с геометрией касательной плоскости), точно не является евклидовой; к тому
же, как правило, поверхность неоднородна по своим геометрич. свойствам.
Поэтому внутр. геометрия поверхности и есть не что иное, как Р. г. двух
измерений, а сама поверхность есть двумерное риманово пространство.

Так, при измерениях на участках земной
поверхности, малых в сравнении с размерами земного шара, можно с успехом
применять обычную планиметрию, однако результаты измерений на больших участках
обнаруживают существенное отклонение от законов планиметрии. Перенесение
этих понятий на многомерные пространства приводит к общей Р. т. В
основе Р. г. лежат три идеи. Первая идея - признание того, что вообще возможна
геометрия, отличная от евклидовой,- была впервые развита Н. И. Лобачевским;
вторая
- это идущее от К. Ф. Гаусса понятие внутр. геометрии поверхностей
и её аналитич. аппарат в виде квадратичной формы, определяющей линейный
элемент поверхности; третья идея - понятие об и-мерном пространстве, выдвинутое
и разработанное в 1-й пол. 19 в. рядом геометров. Риман, соединив и обобщив
эти идеи (в лекции "О гипотезах, лежащих в основании геометрии", прочитанной
в 1854 и опубликованной в 1867), ввёл общее понятие о пространстве как
непрерывной совокупности любого рода однотипных объектов, к-рые служат
точками этого пространства (см. Геометрия, раздел Обобщение предмета
геометрии, Пространство в математике), и перенёс на эти пространства
представления об измерении длин малыми шагами.

После опубликования работ Римана его идеи
привлекли внимание ряда математиков, к-рые развивали дальше аналитич. аппарат
Р. г. и устанавливали в ней новые теоремы геометрич. содержания. Важным
шагом было создание итал. геометрами Г. Риччи-Курбастро и Т. Леви-Чивита
на рубеже 20 в. т. н. тензорного исчисления, к-рое оказалось наиболее
подходящим аналитич. аппаратом для разработки Р. г. Решающее значение имело
применение Р. г. в создании А. Эйнштейном общей теории относительности,
к-рое было триумфом не только абстрактной геометрии, но и идей о связи
геометрии и физики, выдвинутых Лобачевским и Риманом. Это привело к бурному
развитию Р. г. и её разнообразных обобщений. В наст, время Р. г. вместе
с её обобщениями представляет собой обширную область геометрии, к-рая продолжает
успешно развиваться, причём особое внимание уделяется вопросам глобального
характера.

Определение риманова пространства. К строгому
определению риманова пространства можно подойти следующим образом. Положение
точки n-мерного многообразия определяется п координатами х¹,
x², . . ., хⁿ. В евклидовом n-мерном пространстве
расстояние между любыми двумя точками X, Y в надлежаще выбранных
координатах выражается формулой

где дельта хⁱ - разности
координат точек X, Y. Соответственно в римановом пространстве в
окрестности каждой точки А могут быть введены координаты х¹,...,хⁿтак,
что расстояние между точками X, Y, близкими к А, выражаются
формулой

когда X, Y приближаются к А.
Отсюда
следует, что в произвольных координатах расстояние между близкими точками
(хⁱ)
и (xⁱ+dxⁱ), или, что то же самое, дифференциал
длины дуги кривой, задаётся выражением

(здесь коэффициенты g =
д(х¹, ..., хⁿ) суть функции
координат), к-рое наз. линейным элементом риманова пространства. Т. о.,
риманово пространство R можно аналитически определить как re-мерное
многообразие, в к-ром в каждой точке задана дифференциальная квадратичная
форма

(она наз. также метрической формой, или
просто метрикой, R и является по своему определению положительно
определённой). Возможность преобразования координат обусловливает то, что
одно и то же риманово пространство в разных координатах имеет разные выражения
метрич. формы, однако её величина (вследствие своего геометрич. смысла
как квадрата элемента длины дуги) при преобразовании координат должна оставаться
неизменной :

Это приводит к определённому закону преобразования
коэффициентов g как компонент дважды ковариантного
тензора (см. Тензорное исчисление); он наз. метрическим тензором
риманова пространства.

Каждой точке А риманова пространства
R
сопоставляется
т. н. касательное евклидово пространство Ев к-рое
отображается нек-рая окрестность U точки А так, что относительное
искажение расстояний стремится к нулю при приближении к точке
А. Аналитически
это сводится к введению вблизи нек-рой точки
Апространства
Етаких координат, что в них квадрат линейного элемента
ds²евклидова пространства
Евыражается в точке АО такой
же формой сумма(А)dxⁱdx^j,
какой
выражается квадрат линейного элемента риманова пространства ds²
в точке А. Т. о., в пренебрежении малыми выше первого порядка окрестность
точки в римановом пространстве можно заменять окрестностью точки касательного
пространства.

Простейшие понятия римановой геометрии.
1)Длина дуги s кривой xⁱ - xⁱ(t) (iⁱ=1,
.
. ., п, tв римановом пространстве
R
определяется
как интеграл

вдоль этой кривой (что соответствует как
бы измерению длин "малым масштабом", как отметил ещё Риман). Если любые
две точки пространства R соединимы кривой, то R становится
метрическим
пространством: расстояние р (Х, У) между двумя точками определяется
как точная нижняя грань длин кривых, соединяющих эти точки, и наз. внутренней
метрикой риманова пространства R.

2) Угол между двумя исходящими из одной
точки А кривыми определяется как угол между касательными векторами
к кривым в точке А.

3) О б ъ ё м V n-мерной области
G риманова пространства определяется по формуле:

Геодезические. Линии, к-рые в достаточно
малых областях являются кратчайшими из всех кривых с теми же концами, наз.
геодезическими, они играют роль прямых в римановом пространстве R. По
определению, они являются экстремалями функционала

(см. Вариационное исчисление) и
удовлетворяют уравнениям:

где ГⁱКристоффеля
символы, выражающиеся через компоненты мет-рич. тензора
gи
их первые производные. Через каждую точку риманова пространства в любом
направлении проходит геодезическая; любые две точки
А, В достаточно
малой области можно соединить кратчайшей [длина её будет равна внутр. расстоянию
р
(А, В) между этими точками], и притом единственной, однако единственность
может нарушаться, если точки достаточно удалены друг от друга (напр., полюсы
сферы соединимы бесконечным множеством дуг больших кругов, являющихся кратчайшими).

Представляет интерес (для описания периодич.
движений в механич. задаче многих тел, например) оценка числа v замкнутых
геодезических пространства R; эта задача (поставленная Ж. А. Пуанкаре
в
1905 в связи с нек-рыми вопросами небесной механики), несмотря на усилия
многих математиков, ещё далека от завершения, наилучший результат: v>=2,
если R односвязно.

Соприкасающееся пространство. Между римановым
пространством R и касательным к нему евклидовым пространством в
окрестности V нек-рой точки А можно установить такое соответствие,
при к-ром оба пространства будут совпадать с точностью до малых выше второго
порядка. Для этого проводят из точки А геодезические во всех направлениях
и каждой из них в касательном пространстве сопоставляют луч соответствующего
направления, а затем устанавливают такое соответствие этих лучей и геодезических,
при к-ром длины дуг геодезических и соответствующих им лучей равны. В достаточно
малой окрестности такое соответствие будет взаимно однозначным; если ввести
в касательном пространстве декартовы координаты х¹, . . .,
хⁿ и приписать их значения соответствующим точкам окрестности
U,
то
между линейными элементами ds риманова и dsевклидова
пространств будет такая связь:

Евклидово пространство, поставленное в
такое соответствие с римановым, и называется соприкасающимся (в отличие
от обычного касательного пространства). Добиться более высокого порядка
совпадения за счёт специального выбора соответствия между римановым и евклидовым
пространствами в общем случае уже невозможно. Поэтому коэффициенты Rхарактеризуют
отличие риманова пространства от евклидова; они являются компонентами т.
н. тензора кривизны (или тензора Римана - Кристоффеля), определяемого по
сформуле

лишь через g и их производные
до второго порядка.

Тождественное обращение в нуль тензора
кривизны необходимо и достаточно для того, чтобы пространство в окрестности
каждой точки совпадало с евклидовым (в целом оно может отличаться от него
своим строением, подобно тому как боковая поверхность цилиндра отличается
от плоскости).

Параллельное перенесение. Для всякой гладкой
кривой L риманова пространства существует отображение её окрестности Uв
евклидово пространство Eпри к-ром оно оказывается
соприкасающимся во всех точках кривой L. Образ кривой L в пространстве
Eназ.
развёрткой L' этой кривой на евклидово пространство (для поверхности
F
в
евклидовом пространстве соприкасающееся евклидово пространство вдоль кривой
L можно интерпретировать как развёрнутую на плоскость огибающую семейства
плоскостей, касательных к F вдоль L). Вектор (и любой тензор) параллельно
переносится вдоль кривой L, если параллельно переносится соответствующий
вектор (тензор) в евклидовом пространстве Eсоприкасающемся
с римановым вдоль этой кривой. Аналитически параллельное перенесение вектора
aⁱ вдоль кривой xⁱ = xⁱ(f)
определяется
дифференциальным уравнением

определить как кривые, вдоль к-рых касательный
к ним вектор переносится параллельно, т. е. развёртка геодезической - прямая,
что углубляет их сходство с прямыми. Результат параллельного перенесения
вектора из точки А в точку В зависит, как правило, от кривой
АВ,
вдоль
к-рой происходит перенесение,- в этом отсутствии "абсолютного параллелизма"
наглядно проявляется отличие риманова пространства от евклидова.

Геодезическая кривизна (первая кривизна)
кривой L в точке М оценивает её отклонение от геодезической
LL в точке М, и определяется следующим
образом. Пусть касательный вектор к L в точке М параллельно
перенесён в точку М' и образует там угол ср с касательной к L
в
точке М; пусть s - длина дуги ММ' кривой L. При стремлении
М'
к
М
существует предел

к-рый и наз. геодезической кривизной кривой
L
в
точке М. Аналитически геодезическая кривизна кривой хⁱ
= xⁱ(s), параметризованной длиной дуги, определяется формулами:

таким образом, геодезическая кривизна кривой
L
совпадает
с (первой) кривизной её развёртки L, а геодезические линии
во всех точках имеют нулевую геодезическую кривизну.

Для кривой L в римановом пространстве
R
определяются
также вторая и т. д. кривизны и имеют место соотношения, аналогичные обычным
формулам Френе (см. Дифференциальная геометрия)
для кривых евклидова
пространства.

Риманова кривизна. Пусть М - точка
риманова пространства, F - двумерная поверхность xⁱ = xⁱ(u,
v), проходящая через М, L - простой замкнутый контур на F,
проходящий
через М, а - площадь участка поверхности, ограниченного контуром
L.
Пусть
произвольный вектор аⁱ, касательный к поверхности F (т.
е. линейно выражающийся через векторы дхⁱ/дu,
дхⁱ/дv)
перенесён параллельно по L.

Тогда составляющая перенесённого вектора,
касательная к F, окажется повёрнутой по отношению к аⁱ на
угол ф (положительное направление отсчёта углов должно совпадать с направлением
обхода L). При стягивании L в точку М существует предел

наз. кривизной риманова пространства (римановой
кривизной) в данной точке в направлении двумерной поверхности; К зависит
не от поверхности, а лишь от её направления в точке М, т. е. от
направления двумерной плоскости касательного евклидова пространства, содержащей
векторы дхⁱ/дu, дхⁱ/дv Риманова кривизна
К
связана
с тензором кривизны формулой:

причём параметры и, v выбраны так,
что площадь параллелограмма, построенного на векторах дхⁱ/дu,
дхⁱ/дv,
равна 1.

В двумерном случае К совпадает с
полной кривизной (Theorema egregium К. Ф. Гаусса, 1827), при этом для области
G, ограниченной простой замкнутой кривой Г, имеющей геодезическую кривизну
и, справедлива т. н. ф о р-мула Гаусса - Бонне:

в частности, для треугольника, образованного
отрезками геодезических

где А, В, С - величины углов треугольника.
Для замкнутого (т. е. без границы) двумерного риманова пространства R
его
эйлерова
характеристика х(R) пропорциональна интегралу римановой кривизны :

Эта формула обобщена на случай четно-мерного
замкнутого риманова пространства, в к-ром интегрируется нек-рая функция
компонент тензора кривизны.

Если в каждой точке риманова пространства
кривизна не зависит от направления двумерной поверхности, то она не меняется
и от точки к точке, т. е. пространство имеет постоянную кривизну. Представляют
интерес также (в частности, для описания механич. систем с циклич. координатами)
римановы пространства со специальной структурой тензора кривизны; они суть
обобщение пространств постоянной кривизны и имеют достаточно обширную группу
движений. Таковы, напр., симметрические пространства, характеризующиеся
тем, что их тензор кривизны не меняется при параллельном

перенесении, субпроективные пространства,
характеризующиеся спец. координатной системой, в к-рой геодезические описываются
линейными ур-ниями, и др. Риманова кривизна играет важную роль в геометрич.
приложениях Р. г., тем более, что на всяком многообразии можно ввести нек-рую
риманову метрику. Так, напр., топологич. строение полных римановых пространств
(т. е. пространств, в к-рых всякая геодезическая бесконечно продолжаема)
зависит от свойств его кривизны: всякое полное односвязное n-мерное риманово
пространство гомеоморфно n-мерному евклидову пространству, если его кривизна
во всех точках и по всем направлениям неположительна и гомео-морфна n-мерной
сфере единичного радиуса, если его кривизна К удовлетворяет неравенствам

где о - нек-рая постоянная. От величины
кривизны полного риманова пространства R зависит и его диаметр d
- точная верхняя грань расстояний между точками R, определяемых
внутр. метрикой R: напр.,

Метрическая связность. Параллельное перенесение
вдоль кривой L с концами А, В задаёт изометричное (т. е.
сохраняющее расстояния) преобразование тЕв
точке Л в касательное пространство Ев точке
А.
Дифференциал
преобразования т.; в точке А, т. е. главная линейная часть изменения
тА(хⁱ)
в близкую точку А(х¹
+ dx¹), определяет нек-рый геометрич. объект, наз.
р и м а-новой связностью, ассоциированной с данным параллельным перенесением.
Аналитически эта связность выражается системой линейных дифференциальных
форм

Однако в римановом пространстве R можно
определить и другие связности, такие, что ассоциированные с ними параллельные
перенесения также сохраняют метрич. тензор; они наз. метрическими связностями
и определяются аналогичными коэффициентами Гⁱно уже не симметричными по индексам j, k и не выражающимися (подобно
символам Кристоффеля) только через тензор gи его производные.
Отличие метрич. связности от римановой оценивается т. н. тензором кручения:

геометрический смысл к-рого иллюстрируется
следующим образом. Рассмотрим в двумерном римановом пространстве метрической
связности малый треугольник, образованный отрезками геодезических длины
а,
Ь, с и углами А, В, С. Тогда главная часть проекции кручения
в точке А на сторону АВ равна отношению величины с-acos
В-b
cos
А
к площади треугольника, а главная часть проекции кручения на перпендикуляр
к АВ -величине a sin В-b sin А,
делённой на площадь
треугольника. Т. о., в римановом пространстве нулевого кручения имеют место
теоремы косинусов и синусов обыкновенной тригонометрии с точностью до величин,
малых в сравнении с площадью треугольника.

Кривые, касательный вектор к к-рым переносится
вдоль них параллельно, наз. геодезическими соответствующей связности; они
совпадают с римановыми геодезическими, если тензор

кососимметричен по всем индексам.

М наз. римановым подпространством пространства
R.

Достаточно малая область га-мерного риманова
пространства R может быть погружена в евклидово пространство достаточно
большой размерности N (т. е. допускает сохраняющее длины отображение
на подмногообразие этого пространства). Известно, что N=<[(m(m+1))/2]+m
вопрос о минимальном значении N в общем случае ещё не решён, однако
если коэффициенты метрич. формы дц пространства R являются
аналитич. функциями (т. е. разлагаются в сходящиеся степенные ряды), то
N=<[(m(m+1))/2]+m. Относительно задачи погружения в целом (представляющей
интерес для физики калибровочных полей) известно ещё меньше.

Наиболее подробно исследованы погружения
двумерных римановых пространств. Так, напр.: 1) двумерное полное риманово
пространство положительной кривизны К погружается в виде замкнутой
выпуклой поверхности (овалоида) в трёхмерное риманово пространство кривизны
не меньшей К [проблема Г. Вейля (1916), решённая нем. математиком
X. Леви (1937) и А. Д. Александровым (1941) для погружения в евклидово
пространство и А. В. Погореловым (1957) для риманова пространства],
причём любые два погружения, имеющие общую точку и общее соприкасающееся
пространство в ней, совпадают [т. е. овалоид однозначно определён своей
метрикой, нем. математик С. Э. Кон-Фоссен (1927), А. В. Погорелое (1948)].
2) Двумерное полное риманово пространство отрицательной кривизны К=<Кне
допускает погружения в виде регулярной поверхности [сов. математик Н. В.
Ефимов (1963), частный случай плоскости Лобачевского (К = - 1) разобран
Д. Гильбертом (1901)]. 3) Двумерное риманово пространство, гомеоморфное
тору, допускает погружение в четырёхмерное евклидово пространство [сов.
математик Э. Г. Позняк (1973)].

Приложения и обобщения римановой геометрии.
1) Поскольку Р. г. определяется заданием дважды ковариантного симметричного
тензора, постольку всякую физич. задачу, сводящуюся к изучению такого тензорного
поля, можно формулировать как задачу Р. г. В частности, к тензорным полям
такого типа относятся различные физич. величины, характеризующие упругие,
оптич., термодинамические, диэлектрические, пьезомагнит-ные и др. свойства
анизотропных тел. При этом симметрия коэффициентов дц является отражением
одного из фундаментальных физич. законов - закона взаимности. Так, задача
о теплопроводности анизотропного тела, решённая ещё Риманом (1861), явилась
первым приложением Р. г.

2) Рассмотрение конфигурационного пространства
в механике системы с n степенями свободы позволило представить в ясной
геометрич. форме ряд механич. задач. Так, напр., траектории свободного
(т. е. в отсутствии обобщённых сил) движения голономной механич. системы
с кинетич. энергией

где qⁱ - обобщённые скорости,
являются геодезическими соответствующего n-мер-ного риманова пространства
с метрич. тензором дц. О нек-рых др. фактах упоминалось выше. Аналогичную
интерпретацию получает и движение в поле сил, имеющих потенциал (см. Герца
принцип). 3) В приложениях Р. г. к механике и физике важную роль играют
дополнит, структуры, согласующиеся в том или ином смысле с метрикой риманова
пространства. Так, напр.,

а) физич. представлениям об упругой сплошной
среде с непрерывным распределением источников внутр. напряжений соответствует
риманово пространство с нек-рой метрич. связностью: параллельное перенесение,
соответствующее ей, определяет т. н. естественное состояние среды вдоль
кривой, а кручение отождествляется с плотностью дислокаций,

б) римановы пространства с почти комплексной
структурой (определяется полем один раз ковариантного и один раз контравариантного
тензора Jⁱтакого, что

где S - Кронекера символ) используются
квантовой механикой для описания наблюдаемых и состояний систем многих
частиц; в) привлечение понятия т. н. конформной связности, т. е. связности
риманова пространства, при к-рой результат параллельного перенесения метрич.
тензора дц пропорционален ему самому, позволило смоделировать нек-рые
из т. н. Бора постулатов, в частности избранные (или "разрешённые")
орбиты движения электронов в атоме - кривые, вдоль к-рых метрич. тензор
сохраняется.

4) Развитие Р. г. в связи с общей теорией
относительности (см. Тяготение) и механикой сплошных сред породило
различные обобщения её предмета, главнейшими из к-рых являются т. н. псевдоримановы
пространства. Таково, напр., согласно теории тяготения, многообразие событий
(многообразие пространства - времени) - четырёхмерное пространство с заданной
на нём зна-конеопределённой невырожденной квадратичной формой

(коэффициенты такой "метрики", допускающей
мнимые расстояния, как раз и характеризуют поле тяготения, играя роль потенциальных
функций). Эта форма в каждой точке пространства событий может быть приведена
к виду

где х, у, z - пространственные координаты,
t
- время. Физически такие, т. н. локально галилеевы, системы отсчёта
являются свободно падающими в поле тяготения. Однако ввести такую систему
на всём многообразии невозможно (поскольку наличие поля тяготения математически
выражается в кривизне псевдориманова пространства).

Другой путь обобщения Р. г. связан с рассмотрением
более общих законов определения расстояний, задаваемых в виде линейного
элемента ds (см. Финслерова геометрия), и более общих законов
параллельного
перенесения, а также с отказом от требований регулярности.
Лит.:
Риман
Б., Соч., пер. с нем., М.- Л., 1948; Рашевский П. К., Риманова геометрия
и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; Эйзенхарт Л. П., Риманова геометрия,
пер. с англ., М., 1948; С х о у т е н Я. А., Тензорный анализ для физиков,
пер. с англ., М., 1965; Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия
в целом, пер. с нем., М., 1971.

А. Д. Александров, Ю. Ф. Борисов.