РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ

РАЗЛОЖЕНИЕ НА МНОЖИТЕЛИ многочлена,
представление его в виде произведения двух или большего числа многочленов
низших степеней, напр.: х²-1 = (х-1)(х+ 1), х²-(а
+ b)х + + аb = (х-а )(х-b), x⁴-а⁴
= (х-a)(х + а) x x (x²+а²).
Простейшие приёмы Р. на м.: вынесение общего множителя за скобку: х⁴+а²х²
= х²(х² + а²), х(х-а)-b(х-а) = = (x-а)(х-b);
применение
готовых (запоминаемых наизусть) формул: х²-а²
= = (х-а)(х + а), x³-а³ = (х-а)(х² + ах
+ + а²), х² + 2ах + а²=(х + а)²,
x³ + 3ах² + + 3а²х + а³ = (х
+ а)³; способ группировки, напр. х³ + ах²
+ а²х + а³ = (х³ + ах²)
+ (а²х + + а³)=х²(х + а)+а²(х
+ а)=(х + а)(а² + х²); х⁴ + а⁴
= (х⁴+ 2а²х² + а⁴) -
2а²х²
= (х² + + a²)² - (корень квадратный
из 2ax)² = (х²- корень квадратный из 2ax +
а²)(х² + + корень квадратный из 2ax + a²),
и
т. п. Если многочлен степени п р(х) = а+ а2 + . . . + аn
(а0) имеет корни х, х2, . . .,
хто справедливо Р. на м.:
р(х)=а. . (х-хздесь все множители 1-й степени (линейные).
Напр., из того, что многочлен 3-й степени х³ - 6х²
+ 11х - 6 имеет корни xх= 3, вытекает Р. на м.: х³ + 6х² + 11x
-6= (х - 1)(x-2)(х-3). Вообще, каждый многочлен с действит.
коэффициентами разлагается на множители 1-й или 2-й степени также с действит.
коэффициентами. Так, выше было указано разложение: x⁴ + a'⁴=
(x²-корень квадратный из 2ax + a²) x x (х²
+ корень квадратный из 2ax + а²). Здесь все множители 2-й
степени; при а действительном и неравном нулю они могут быть разложены
только на множители с комплексными коэффициентами, напр. x2 - корень
квадратный из 2ax +a2 = (x - 1-i/корень квадратный из 2 <^.
a)(x - 1+i/корень квадратный из 2 <^. a). Среди
многочленов от двух или большего числа переменных существуют многочлены
сколь угодно высокой степени, к-рые вообще не разлагаются на множители
(неприводимые многочлены); таков, напр., многочлен х^п + у
при
любом натуральном и. См. Многочлен, Неприводимый многочлен.

Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры,
10 изд., М., 1971. А. И. Маркушевич.