РАВНОСТЕПЕННАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ

РАВНОСТЕПЕННАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ важное
свойство нек-рых семейств функций. Семейство функций наз. равностепенно
непрерывным на данном отрезке [а, b], если для всякого числа E>0
найдётся такое o>0, что |f(xf(xдля любых xи x], для к-рых
|xxи для любой функции f(x)
данного
семейства. Все функции равностепенно непрерывного семейства равномерно
непрерывны на [а, b] (см. Равномерная непрерывность).

Свойство Р. н. семейства функций находит
приложения в теории дифференциальных ур-ний и функциональном анализе благодаря
следующей теореме: для того чтобы из данного семейства функций можно было
выделить равномерно сходящуюся последовательность (см. Равномерная сходимость),
необходимо
и достаточно, чтобы семейство функций было равностепенно непрерывно и равномерно
ограниченно (т. е. чтобы все функции семейства удовлетворяли на [а,
b] условию |f(x)|=<М с одним и тем же М). Возможность
выделить равномерно сходящуюся последовательность означает, что данное
семейство образует относительно компактное множество в пространстве С непрерывных
функций (см. Компактность).