РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ

РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ важный
частный случай сходимости. Последовательность функций fn(x) (n
= 1, 2, . . .) наз. равномерно сходящейся на данном множестве к предельной
функции f(x), если для каждого е>0 существует такое N = N(E),
что
|f(x)-fпри n>N для всех точек
х
из
данного множества. Напр., последовательность функций fnравномерно
сходится на отрезке [0, 1/2] к предельной функции f(x) = 0, так
как |f(x)-fn<E для всех
0=<x=<1/2, если только n>ln(1/8)/ln2, но она не будет равномерно
сходящейся на отрезке [0, 1], где предельной функцией является f(x)=0 при
0=<х<1 и f(l) = l, т. к. для любого сколько угодно большого
заданного п существуют точки n, удовлетворяющие неравенствам корень
в n-ой степени из 1/2<n<1, для к-рых |f(n) - fn> 1/2. Понятие Р. с. допускает простую геометрич. интерпретацию: если
последовательность функций fn(x) равномерно сходится на нек-ром
отрезке к функции f(x), то это означает, что для любого E>0 все
кривые y=fn(x) с достаточно большим номером будут расположены внутри
полосы ширины 2е, ограниченной кривыми у = f(x) ± E для любого
х
из
этого отрезка (см. рис.).

Равномерно сходящиеся последовательности
функций обладают важными свойствами; напр., предельная функция равномерно
сходящейся последовательности непрерывных функций также непрерывна (приведённый
выше пример показывает, что предельная функция последовательности непрерывных
функций, к-рая не является равномерно сходящейся, может быть разрывной).
Важную роль в математич. анализе играет теорема Вейерштрасса: каждая непрерывная
на отрезке функция может быть представлена как предел равномерно сходящейся
последовательности многочленов (или тригонометрич. полиномов). См. также
Приближение и интерполирование функций.