ПФАФФА УРАВНЕНИЯ

ПФАФФА УРАВНЕНИЯ уравнения вида
X+ X(1)
где XХХзаданные
функции независимых переменных xИзучались
И. Ф. Пфаффом. (1814-15). Решение ур-ния (1) состоит из соотношений

таких, что ур-ние (1) является следствием
их и соотношений df0, df= 0,
..., df= 0. Соотношения (2) определяют интегральное
многообразие П. у. (1). Если через каждую точку n-мерного пространства
xхпроходит (п - 1)-мерная интегральная
гиперповерхность, т. е. если ур-ние (1) интегрируется одним соотношением,
содержащим одну произвольную постоянную, то оно наз. вполне интегрируемым.
В случае трёх независимых переменных х, у, z П. у. может быть записано
в виде где Р = Р (х, у, z), Q = Q (х, у, z), R = R (х,
у, z). Геометрически решение ур-ния (1') означает нахождение кривых
в пространстве х, у, z, ортогональных в каждой своей точке векторному
полю (Р, Q, R), т. е. таких кривых, нормальная плоскость к к-рым
в каждой точке содержит вектор поля. Такие кривые являются интегральными
кривыми ур-ния (1'). Если задать одно соотношение Ф (х, у, z) =
О произвольно, т. е. искать интегральные кривые на произвольной гладкой
поверхности, то из ур-ния (1') и соотношения

Фdx + ФФ= О

находятся, напр., dy/dx и dz/dx
как
функции х, у, г, и задача сводится к интегрированию системы двух
обыкновенных дифференциальных ур-ний первого порядка. Решая ее, находят
двупараметрич. семейство кривых, из к-рого выделяют однопараметрич. семейство
интегральных кривых ур-ния (1'), лежащих на заданной поверхности Ф (х,
у, z) = 0. Это семейство интегральных кривых может рассматриваться
как пересечение заданной поверхности и однопараметрич. семейства поверхностей
Ф(х, у, z, c)=0, т. е. общее решение П. у. (1') состоит
из двух соотношений Ф (х, у, z) = 0 и Ф(х, у, 2,
с) = 0, из к-рых первое произвольно, а второе определяется по первому.
П. у. (1') интегрируется одним соотношением F (х, у, z, с) = 0,
т. е. является вполне интегрируемым, если выполняется условие интегрируемости

тождественно относительно х, у, z.
Геометрически это значит, что существует однопараметрич. семейство интегральных
поверхностей П. у. (1'), ортогональных в каждой точке векторному полю {Р,
Q, К}. Любая кривая на интегральной поверхности является интегральной кривой
П. у. (1').

Tеория П. у. обобщена на случай систем
П. у., играющих особо важную роль в приложениях. П. у. и системы П. у.
встречаются в механике неголономных систем, т. к. неголономные связи суть
П. у. между виртуальными перемещениями, а также в термодинамике.

Лит.: Рашевский П. К., Геометрическая
теория уравнений с частными производными, М. - Л., 1947; Степанов В. В.,
Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М.. 1959; Goursat Е., Lecons sur
le problerae de Pfaff, P., 1922.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я