ПРОСТРАНСТВО

ПРОСТРАНСТВО в математике, логически
мыслимая форма (или структура), служащая средой, в к-рой осуществляются
другие формы и те или иные конструкции. Напр., в элементарной геометрии
плоскость или пространство служат средой, где строятся разнообразные фигуры.
В большинстве случаев в П. фиксируются отношения, сходные по формальным
свойствам с обычными пространственными отношениями (расстояние между точками,
равенство фигур и др.), так что о таких П. можно сказать, что они представляют
логически мыслимые пространственно-подобные формы. Исторически первым и
важнейшим математич. П. является евклидово трёхмерное П., представляющее
приближённый абстрактный образ реального П. Общее понятие "П." в математике
сложилось в результате постепенного, всё более широкого обобщения и видоизменения
понятий геометрии евклидова П. Первые П., отличные от трёхмерного евклидова,
были введены в 1-й пол. 19 в. Это были пространство Лобачевского и евклидово
П. любого числа измерений. Общее понятие о математич. П. было выдвинуто
в 1854 Б. Риманом; оно обобщалось, уточнялось и конкретизировалось
в разных направлениях: таковы, напр., векторное пространство, гильбертово
пространство, риманово пространство, функциональное пространство, топологическое
пространство. В совр. математике П. определяют как множество каких-либо
объектов, к-рые наз. его точками; ими могут быть геометрич. фигуры, функции,
состояния физич. системы и т. д. Рассматривая их множество как П., отвлекаются
от всяких их свойств и учитывают только те свойства их совокупности, к-рые
определяются принятыми во внимание или введёнными по определению отношениями.
Эти отношения между точками и теми или иными фигурами, т. е. множествами
точек, определяют "геометрию" П. При аксиоматич. её построении основные
свойства этих отношений выражаются в соответствующих аксиомах.

Примерами П. могут служить: 1) метрич.
П., в к-рых определено расстояние между точками; напр., П. непрерывных
функций на к.-л. отрезке [а, b], где точками служат функции f(x),
непрерывные
на [а, b], а расстояние между f(x)
и f(x)
определяется как максимум модуля их разности: r - max|f- f2) "П. событий", играющее важную роль в геометрич.
интерпретации теории относительности. Каждое событие характеризуется положением
- координатами х, у, z и временем t, поэтому множество всевозможных
событий оказывается четырёхмерным П., где "точка" - событие определяется
4 координатами х, у, z, t. 3) Фазовые П., рассматриваемые в теоретич.
физике и механике. Фазовое П. физич. системы - это совокупность всех её
возможных состояний, к-рые рассматриваются при этом как точки этого П.
Понятие об указанных П. имеет вполне реальный смысл, поскольку совокупность
возможных состояний физич. системы или множество событий с их координацией
в П. и во времени вполне реальны. Речь идёт, стало быть, о реальных формах
действительности, к-рые, не являясь пространственными в обычном смысле,
оказываются пространственно-подобными по своей структуре. Вопрос о том,
какое математич. П. точнее отражает общие свойства реального П., решается
опытом. Так, было установлено, что при описании реального П. евклидова
геометрия не всегда является достаточно точной и в совр. теории реального
П. применяется риманова геометрия (см. Относительности теория, Тяготение).
По поводу П. в математике см. также статьи Геометрия, Математика,
Многомерное пространство. А. Д. Александров.