ПРОСТОЕ ЧИСЛО
целое положительное
число, большее, чем единица, не имеющее других делителей, кроме самого
себя и единицы: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... Понятие П. ч. является основным
при изучении делимости натуральных (целых положительных) чисел; именно,
основная теорема теории делимости устанавливает, что всякое целое положительное
число, кроме 1, единств. образом разлагается в произведении П. ч. (порядок
сомножителей при этом не принимается во внимание). П. ч. бесконечно много
(это предложение было известно ещё др.-греч. математикам, его доказательство
имеется в 9-й книге "Начал" Евклида). Вопросы делимости натуральных чисел,
а следовательно, вопросы, связанные с П. ч., имеют важное значение при
изучении групп; в частности, строение группы с конечным числом элементов
тесно связано с тем, каким образом это число элементов (порядок группы)
разлагается на простые множители. В теории алгебраических чисел рассматриваются
вопросы делимости целых алгебраич. чисел; понятия П. ч. оказалось недостаточным
для построения теории делимости - это привело к созданию понятия идеала.
П.
Г. Л. Дирихле в 1837 установил, что с арифметич. прогрессии
а
+ bх при x =1,2, ... с целыми взаимно простыми а и b
содержится бесконечно много П. ч.
Выяснение распределения П. ч. в натуральном
ряде чисел является весьма трудной задачей чисел теории. Она ставится
как изучение асимптотич. поведения функции Пи(х), обозначающей число
П. ч., не превосходящих положит. числа х. Первые результаты в этом
направлении принадлежат П. Л. Чебышеву, к-рый в 1850 доказал, что
имеются такие две
Хронологически следующим значительным результатом,
уточняющим теорему Чебышева, является т. н. асимптотич. закон распределения
П. ч. (Ж. Адамар, 1896, III. Ла Bалле Пуссен, 1896), заключающийся
в том, что предел отношения
В дальнейшем значительные усилия математиков
направлялись на уточнение асимптотич. закона распределения П. ч. Вопросы
распределения П. ч. изучаются и элементарными методами, и методами математич.
анализа. Особенно плодотворным является метод, осн. на использовании тождества
(произведение распространяется на все П.
ч. р = 2, 3, ...), впервые указанного Л. Эйлером; это тождество
справедливо при всех комплексных s с вещественной частью, большей единицы.
На основании этого тождества вопросы распределения П. ч. приводятся к изучению
специальной функции - дзета-функции E(s), определяемой при Res>1
рядом
Эта функция использовалась в вопросах распределения
П. ч. при вещественных s Чебышевым; Б. Риман указал на важность
изучения Е(s) при комплексных значениях s. Риман высказал
гипотезу о том, что все корни уравнения Е(s) = О, лежащие в правой полуплоскости,
имеют вещественную часть, равную1/2. Эта гипотеза до настоящего времени
(1975) не доказана; её доказательство дало бы весьма много в решении вопроса
о распределении П. ч. Вопросы распределения П. ч. тесно связаны с Гольдбаха
проблемой, с не решённой ещё проблемой "близнецов" и другими проблемами
аналитич. теории чисел. Проблема "близнецов" состоит в том, чтобы узнать,
конечно или бесконечно число П. ч., разнящихся на 2 (таких, напр., как
11 и 13). Таблицы П. ч., лежащих в пределах первых 11 млн. натуральных
чисел, показывают наличие весьма больших "близнецов" (напр., 10006427 и
10006429), однако это не является доказательством бесконечности их числа.
За пределами составленных таблиц известны отдельные П. ч., допускающие
простое арифметич. выражение [напр., установлено (1965), что 211 213-1
есть П. ч.; в нём 3376 цифр].
Лит.: Виноградов И. М., Основы теории
чисел, 8 изд., М., 1972; Хассе Г., Лекции по теории чисел, пер. с нем.,
М., 1953; Ингам А. Е., Распределение простых чисел, пер. с англ., М.- Л.,
1936; Прахар К., Распределение простых чисел, пер. с нем., М., 1967; Трост
Э., Простые числа, пер. с нем., М., 1959.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я