ПРОЕКТИВНОЕ ПРОСТРАНСТВО
в первоначальном
смысле - евклидово пространство, дополненное бесконечно удалёнными точками,
прямыми и плоскостью, наз. также несобственными элементами (см. Бесконечно
удалённые элементы). При этом каждая прямая дополняется одной несобственной
точкой, каждая плоскость - одной несобственной прямой, всё пространство
- одной несобственной плоскостью; параллельные прямые дополняются общей
несобственной точкой, непараллельные - разными; параллельные плоскости
дополняются общей несобственной прямой, непараллельные - разными; несобственные
точки, дополняющие всевозможные прямые данной плоскости, принадлежат несобственной
прямой, дополняющей ту же плоскость; все несобственные точки и прямые принадлежат
несобственной плоскости.
П. п. можно определить аналитически как
Лит. см. при ст. Проективная
совокупность классов пропорциональных четвёрок действительных чисел, не
равных одновременно нулю. При этом классы интерпретируются либо как точки
П. п., и тогда числа четвёрок наз. однородными координатами точек, либо
как плоскости П. п., а числа наз. однородными координатами плоскостей.
Отношение инцидентности точки (x1:x2:x3:x4)
и
плоскости (u1:u2:u3:u4)
выражается
равенством: сумма 4
Аналогичным
образом вводится понятие n-мерного П. п., играющего важную роль в алгебраической
геометрии, причём координатами его могут быть элементы нек-рого тела
k. В более общем смысле П. п.- совокупность трёх множеств элементов,
наз. соответственно точками, прямыми и плоскостями, для к-рых определены
отношения принадлежности и порядка так, что соблюдаются требования аксиом
проективной геометрии. А. Н. Колмогоров и Л. С. Понтрягин
показали, что если П. п. над телом k есть связное компактное
топологическое пространство, в к-ром прямая непрерывно зависит от двух
принадлежащих ей точек, и выполняются аксиомы инцидентности, то k есть
либо поле действительных чисел, либо поле комплексных чисел, либо тело
кватернионов.
геометрия.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я