ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО раздел
комплексного анализа, изучающий вопросы приближённого представления (аппроксимации)
функций комплексного переменного посредством аналитических функций спец.
классов. Центральная проблематика относится к приближению функций полиномами
и рациональными функциями. Осн. являются задачи о возможности приближения,
скорости приближения и аппроксимационных свойствах различных способов представления
функций (интерполяционных последовательностей и рядов, рядов по ортогональным
полиномам и полиномам Фабера, разложений в непрерывные дроби и т. п.).
Теория приближений тесно связана с др. разделами комплексного анализа (теорией
конформных отображений, интегральными представлениями, теорией потенциала
и др.); многие теоремы, формулируемые в терминах теории приближений, являются,
по существу, глубокими результатами о свойствах аналитич. функций и природе
аналитичности.

Одним из первых результатов о полиномиальной
аппроксимации является теорема Рунге, согласно к-рой любая функция, голоморфная
в односвязной области плоскости комплексного переменного г, может быть
равномерно аппроксимирована на компактных подмножествах (см. Компактность)
этой
области посредством полиномов от г. Общая задача о возможности равномерного
приближения полиномами ставится так: для каких компактов К
в комплексной
плоскости любая функция f, непрерывная на К
и голоморфная
на множестве внутренних точек К, допускает равномерную аппроксимацию
на К (с любой степенью точности) посредством полиномов от z.
Необходимым
и достаточным условием возможности такой аппроксимации является связность
дополнения компакта К. Эта теорема для компактов без внутр. точек
была доказана М. А. Лаврентьевым (1934), для замкнутых областей
- М. В. Келдышем (1945) и в общем случае -С. Н. Мергеляном
(1951).

Пусть Е„ = En (f,K) - наилучшее
приближение функции f на компакте К посредством полиномов от z степени
не выше п (в равномерной метрике). Если К - компакт со связным
дополнением и функция f голоморфна на К, то последовательность {Естремится
к нулю быстрее нек-рой геометрич. прогрессии: Еn<qⁿ, 0<q
=
q(f)
< 1 (п >N). Если f непрерывна на К и голоморфна во
внутр. точках К, то скорость её полиномиальной аппроксимации зависит как
от свойств f на границе К (модуль непрерывности, дифференцируемость),
так и от геометрич. свойств границы К.

Другие направления исследований -равномерные
и наилучшие приближения рациональными функциями, приближения целыми функциями,
весовые приближения полиномами, приближения полиномами и рациональными
функциями в интегральных метриках. Большое внимание уделяется проблематике,
связанной с приближением функций неск. комплексных переменных.

Лит.: Уолш Д.-Л., Интерполяция и
аппроксимация рациональными функциями в комплексной области, пер. с англ.,
М., 1961; Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, т. 2, М., 1968;
Смирнов В. И., Лебедев Н. А., Конструктивная теория функций комплексного
переменного, М.- Л., 1964; МергелянС. Н., Приближения функций комплексного
переменного, в кн.: Математика в СССР за сорок лет. 1917-1957, т. 1, М.,1959,
с. 383-98; Гончар А. А., Мергелян С. Н., Теория приближений функций комплексного
переменного, в кн.: История отечественной математики, т. 4, кн. I, К.,
1970, с. 112 - 78.

А. А. Гончар.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я