ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ ЛОГИКА
логика, в
к-рой приемлемыми считаются только рассуждения, не связанные с опровержениями,
т. е. с обоснованиями ложности высказываний. Поскольку выражение "А - ложно"
есть лишь иная форма выражения "не-А", в П. л. отказываются от любых способов
введения отрицания, к числу к-рых относятся приёмы косвенных доказательств,
в
т. ч. доказательств от противного, а также явные определения отрицания
типа ] А = df А ) =i )f, где ] -знак отрицания, ) -импликация,
a f - пропозициональная переменная или к.-л. "допустимое" абсурдное
утверждение. П. л. можно назвать, таким образом, логикой без отрицания.
Логические законы, соответствующие
правильным рассуждениям в П. л. (или же правила, кодифицирующие способы
таких рассуждений), описываются и каталогизируются в соответствующих логических
исчислениях, из к-рых важнейшими являются положительное имплика-тивное
исчисление высказываний с единственной логической операцией - импликацией,
и полное положительное исчисление высказываний с конъюнкцией, дизъюнкцией,
импликацией
и эквивален-цией.
Положительное импликативное исчисление
высказываний (подробно об исчислении высказываний см. в ст. Логика)
задаётся
с помощью двух аксиомных схем:
Более сильные логич. исчисления получаются
из исчислений П. л. последовательным неконсервативным расширением (усилением)
их систем аксиом или правил вывода. Так, присоединение к (1) и (2) аксиомной
схемы
или соответствующего ей правила reduc-tio
ad absurdum даёт минимальную логику Колмогорова (1925), а аналогичное
добавление к полному положительному исчислению высказываний - минимальную
логику Йохансона (1936). Присоединяя к последней схему
(противоречие влечёт произвольное утверждение)
и схему
{исключённого третьего принцип), получают
соответственно интуиционистскую и классическую логику высказываний.
Поскольку все законы П. л. имеют силу (доказуемы)
в интуиционистской и клас-сич. логике (обратное, естественно, неверно),
положительные исчисления обычно рассматривают как их подсистемы - вообще
как "частичные системы". Существенно, однако, что положительные исчисления,
взятые "сами по себе", и "те же" исчисления "внутри" более сильной логики
- это исчисления с различной семантикой логич. связок (операций), к-рая
для первых детерминируется только их собственными аксиомами или правилами
употребления связок, а для вторых наследуется от более сильной логики.
Лит.: Ч ё р ч А., Введение в математическую
логику, пер. с англ., т. 1, М., 1960, §26; Расёва Е., Сикорский Р., Математика
метаматематики, пер. с англ., М., 1972, гл. 11, §§ 2 - 6. М. М. Новосёлов.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я