ПОЛЕ
алгебраическое, важное алгебраич.
понятие, часто используемое как в самой алгебре, так и в др. отделах математики
и являющееся предметом самостоятельного изучения.
Над обычными числами можно производить
четыре арифметич. действия (основные - сложение и умножение, и обратные
им - вычитание и деление). Этим же характеризуются и П. Полем наз. всякая
совокупность (или множество) элементов, над к-рыми можно производить два
действия - сложение и умножение, подчиняющиеся обычным законам (аксиомам)
арифметики:
I. Сложение и умножение коммутативны и
ассоциативны, т.е. а+b = b + а, ab = ba, a+(b + c) = (a+b)+c, а(bс)
= = (ab)c.
II. Существует элемент 0 (нуль),
для к-рого всегда а+0=а; для каждого элемента а существует
противоположный - а, и их сумма равна нулю. Отсюда следует, что
в П. выполнима операция вычитания а-b.
III. Существует элемент е (единица),
для к-рого всегда ае = а; для каждого отличного от нуля элемента а существует
обратный а-1, их произведение равно единице. Отсюда следует
возможность деления на всякое не равное нулю число а.
IV. Связь между операциями сложения и умножения
даётся дистрибутивным законом: a(b + c)=ab + ac.
Приведём несколько примеров П.:
1) Совокупность Р всех рациональных чисел.
2) Совокупность R всех действительных
чисел.
3) Совокупность К всех комплексных
чисел.
4) Множество всех рациональных функций
от одного или от нескольких переменных, напр, с действительными коэф фициентами.
5) Множество всех чисел вида а+ by 2,
где
а и b - рациональные числа.
6) Выбрав простое число р, разобьём
целые числа на классы, объединив в один класс все числа, дающие при делении
на р один и тот же остаток. Возьмём в двух классах по представителю
и сложим их; тот класс, в к-рый попадёт эта сумма, назовём суммой выбранных
классов. Аналогично определяется произведение. При таком определении сложения
и умножения все классы образуют П.; оно состоит из р элементов.
Из аксиом I, II следует, что элементы П.
образуют коммутативную группу относительно сложения, а из аксиом
I, III - то, что все отличные от 0 элементы П. образуют коммутативную группу
относительно умножения.
Может оказаться, что в П. равно нулю целое
кратное па какого-либо отличного от нуля элемента а. В этом
случае существует такое простое число р, что р-кратное ра любого
элемента а этого П. равно нулю. Говорят, что в этом случае характеристика
П. равна р (пример 6). Если па не= 0 ни для каких отличных
от нуля n и a, то считают характеристику П. равной нулю (примеры
1-5).
Если часть F элементов поля G сама
образует П. относительно тех же операций сложения и умножения, то F
наз.
подполем поля G, a G - надполем, или расширением поля F. П., не
имеющее подполей, наз. простым. Все простые П. исчерпываются П. примеров
1 и 6 (при всевозможных выборах простого числа р). В каждом П. содержится
единственное простое подполе (П. примеров 2-5 содержат П. рациональных
чисел). Естественно было бы поставить такую задачу: отправляясь от простого
П., получить описание всех П., изучив структуру расширений; приводимая
ниже теорема Штейница делает шаг именно в этом направлении.
Нек-рые расширения имеют сравнительно простое
строение. Это - а) простые трансцендентные расширения, к-рые сводятся к
тому, что за поле G берётся П. всех рациональных функций от одного переменного
с коэффициентами из F, и б) простые алгебраические расширения (пример
5), к-рые получаются, если совокупность G всех многочленов степени п
складывать
и умножать по модулю данного неприводимого над F многочлена
f(x) степени
п
(конструкция,
аналогичная примеру 6). Расширения второго типа сводятся к тому, что мы
добавляем к F корень многочлена
f(x)
и все те элементы, к-рые
можно выразить через этот корень и элементы
F; каждый элемент надполя
G является корнем нек-рого многочлена с коэффициентами из F. Расширения,
обладающие последним свойством, наз. алгебраическими. Любое расширение
можно выполнить в два приёма: сначала совершить трансцендентное расширение
(образовав П. рациональных функций, не обязательно от одной переменной),
а затем алгебраическое (теорема Штейница). Алгебраич. расширений не имеют
только такие П., в к-рых каждый многочлен разлагается на линейные множители.
Такие П. наз. алгебраически замкнутыми. П. комплексных чисел является алгебраически
замкнутым (алгебры основная теорема). Любое П. можно включить в
качестве подполя в алгебраически замкнутое.
Некоторые П. специального вида подверглись
более детальному изучению. В теории алгебраических чисел рассматриваются
гл. обр. простые алгебраич. расширения П. рациональных чисел. В теории
алгебраич. функций исследуются простые алгебраич. расширения П. рациональных
функций с комплексными коэффициентами; значит, внимание уделяется конечным
расширениям П. рациональных функций над произвольным П. констант (т. е.
с произвольными коэффициентами). Конечные расширения П., в особенности
их автоморфизмы (см. Изоморфизм), изучаются в теории Га-луа (см.
Голу
а теория); здесь находят ответ многие вопросы, возникающие при решении
алгебраич. уравнений. Во многих вопросах алгебры, особенно в различных
отделах теории П., большую роль играют нормированные поля. В связи с геометрич.
исследованиями появились и изучались упорядоченные П.
См. также Алгебра, Алгебраическое число,
Алгебраическая функция, Кольцо алгебраическое.
Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры,
10 изд., М., 1971; Ван дер Варден Б. Л., Современная алгебра, пер. с нем.,
[2 изд.], ч. 1 - 2, М.- Л., 1947; Чеботарев Н. Г., Теория алгебраических
функций, М.- Л., 1948; его же, Основы теории Галуа, ч. 1-2, Л.-М., 1934-37;
Вейль Г.. Алгебраическая теория чисел, пер. с англ.. М., 1947.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я