ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ уравнений,
решения, описывающие правильно повторяющиеся процессы. Для теории колебаний,
небесной механики и др. наук особый интерес представляют П. р. системы
дифференциальных уравнений

Это такие решения yф(t),
к-рые
состоят из периодических одного и того же периода функций независимого
переменного t, т. е. для всех значений t ф (t + Т)
= ф0 - период решения. Если система (1) стационарна,
т. е. функции f= Fугде
i
=
1,..., n, явным образом не зависят от t, то в
фазовом
пространстве (yП. р. отвечают замкнутые
траектории. В частном случае эти траектории могут вырождаться в точки покоя



где

к-рым соответствуют тривиальные (постоянные)
П. р. Что касается нетривиальных П. р., то задача о нахождении их решена
лишь для дифференциальных уравнений спец. типов.

В теории нелинейных колебаний особое значение
имеет система двух уравнений

фазовым пространством к-рой является плоскость
(х,
у). Точки покоя системы (2) находятся из системы уравнений:
Р(х,
у)=0, Q(х, у) = 0. Система (2) заведомо не допускает нетривиальных
П. р., если

(критерий Бендиксона). Обычным приёмом
обнаружения нетривиальных П. р. системы (2) (если они существуют) является
построение такой ограниченной кольцеобразной области К (см. рис.),
что все траектории входят в неё при t ^_> + бесконечность или
при t^_> - бесконечность; если область К не содержит
точек покоя системы (2), то в К обязательно найдётся замкнутая траектория,
к-рой соответствует нетривиальное П. р. (принцип Пуанкаре - Бендиксона).
Другой подход к обнаружению П. р. даёт изучение поведения решений в окрестностях
особых точек; именно, в окрестности центра интегральные кривые системы
(2) замкнуты и им соответствуют нетривиальные П. р. Лит.: Немыцкий
В. В. и Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений,
2 изд., М.- Л., 1949; Андронов А. А., Витт А. А., Xайкин С. Э., Теория
колебаний, 2 изд., М., 1959; Стокер Д ж., Нелинейные колебания в механических
и электрических системах, пер. с англ., 2 изд., М., 1953.