ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ДРОБЬ
бесконечная
десятичная дробь, в к-рой, начиная с нек-рого места, стоит только периодически
повторяющаяся определённая группа цифр. Напр., 1,3181818...; короче эту
дробь записывают так: 1,3(18), т. е. помещают период в скобки (и говорят:
"18 в периоде"). П. д. наз. чистой, если период начинается сразу после
запятой, напр. 2(71) = 2,7171..., и смешанной, если после запятой имеются
цифры, предшествующие периоду, напр. 1,3(18). Роль П. д. в арифметике обусловлена
тем, что при представлении рациональных чисел, т. е. обыкновенных (простых)
дробей, десятичными дробями, всегда получаются либо конечные, либо периодические
дроби. Точнее: конечная десятичная дробь получается в том случае, когда
знаменатель несократимой простой дроби не содержит других простых множителей,
кроме 2 и 5; во всех других случаях получается П. д., и притом чистая,
если знаменатель данной несократимой дроби вовсе не содержит множителей
2 и 5, и смешанная, если хотя бы один из этих множителей содержится в знаменателе.
Всякая П. д. может быть обращена в простую дробь (т. е. она равна нек-рому
рациональному числу). Чистая П. д. равна простой дроби, числителем к-рой
служит период, а знаменатель изображается цифрой 9, написанной столько
раз, сколько цифр в периоде; при обращении в простую дробь смешанной П.
д. числителем служит разность между числом, изображаемым цифрами, предшествующими
второму периоду, и числом, изображаемым цифрами, предшествующими первому
периоду; для составления знаменателя надо написать цифру 9 столько раз,
сколько цифр в периоде, и приписать справа столько нулей, сколько цифр
до периода. Эти правила предполагают, что данная П. д. правильная, т. е.
не содержит целых единиц; в противном случае целая часть учитывается особо.
Примеры:
2, (71) = 2 71/ Известны также правила определения длины
периода П. д., соответствующей данной обыкновенной дроби. Напр., для дроби
а/р,
где
p
- простое число и 1=<a<= p-1, длина периода является делителем
p-1.
Так, для известных приближений к числу я (см. Пи)
22/
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я