ОТОБРАЖЕНИЕ

ОТОБРАЖЕНИЕ (матем.) множества Л
в множество В, соответствие, в силу к-рого каждому элементу х
множества
А
соответствует
определённый элемент у - f(x) множества
В,
наз. образом элемента
х (элемент х наз. прообразом элемента
у).
Иногда под
О. понимают установление такого соответствия. Примерами О. могут служить
параллельное проектирование одной плоскости на другую,
стереографическая
проекция сферы на плоскость. Геогра-фич. карта может рассматриваться
как результат О. точек земной поверхности (или части её) на точки куска
плоскости. Логически понятие "О." совпадает с понятиями
функция, оператор,
преобразование. Как средство исследования О. даёт возможность заменять
изучение соотношений между элементами множества
А
изучением соотношений
между элементами множества В, что в ряде случаев может оказаться
проще. Так, параллельным проектированием можно отобразить параллелограмм
в квадрат, центральным проектированием - любую линию второго порядка в
окружность и т. д. Многие свойства остаются неизменными (инвариантными)
при О. Так, при параллельном проектировании сохраняется параллельность
прямых, отношение отрезков длин параллельных прямых и т. д.

Если каждый элемент множества В является
образом элемента множества А, то О. наз. отображением А на
множество В. Если каждый элемент из В имеет один и только
один прообраз, то О. наз. взаимно однозначным. О. наз. непрерывным, если
близкие элементы множества А переходят в близкие элементы множества
В.
Точнее
это означает, что если элементы XL, Х. . ., х. . сходятся к х, то элементы f(X. . ., f(XСХОДЯТСЯ к f(x).

Каждой части Т множества А соответствует
часть f(T) множества В, состоящая из образов точек этой части;
она наз. образом Т. Если все точки части Q множества В являются
образами точек из А, то совокупность всех точек х из А таких,
что f(x) лежит в Q, наз. полным прообразом Q и обозначается f^-1
(Q). При взаимно однозначном О. полный прообраз каждого элемента множества
В
состоит
из одного элемента множества А.

Взаимно однозначное О. имеет обратное О.,
сопоставляющее элементу у из В его прообраз f^-1(y).
Взаимно
однозначное О. наз. топологическим, или гомеоморфным, если как оно, так
и обратное ему О. непрерывны. При гомеоморфных О. сохраняются лишь наиболее
общие свойства фигур, как, напр., связность, ориентируемость, размерность
и др. Так, квадрат и круг гомеоморфны, но квадрат и куб не гомеоморфны.
Свойства фигур, не изменяющиеся при гомеоморфных О., изучаются в топологии.
Если в множествах А и В имеются нек-рые соотношения и если
эти соотношения сохраняются при О., то О. наз. изоморфным относительно
этих соотношений (см. Изоморфизм). В математич. анализе большую
роль играют О. одного множества функций на другое. Напр., дифференцирование
может рассматриваться как О., при к-ром функции f(x) соответствует
функция f'(x). Среди таких О. наиболее простыми являются О., при
к-рых сумма функций переходит в сумму, а при умножении функции на число
образ её умножается на то же число. Такие О. наз. линейными, их изучают
в функциональном анализе. См. также Линейное преобразование,
Операторов теория. В ряде случаев в множествах А и В можно ввести
координаты, т. е. задавать каждую точку этих множеств системой чисел (x. . ., xи (y, . . ., yТогда
О. задаётся системой функций у. . . , хВ большинстве встречающихся
на практике случаев функции fдифференцируемые:
тогда О. наз. дифференцируемым. Если О. дифференцируемо,
т=п и якобиан
О.
отличен от нуля, то О. взаимно однозначно.

Дифференцируемые О. поверхностей на поверхности
изучаются в дифференциальной геометрии. Имеются свойства, общие всем дифференциально-геометрическим
О. Напр., на поверхности S всегда можно указать такую ортогональную сеть
(см. Сети линий), к-рой на поверхности S' соответствует также
ортогональная сеть. Эта теорема имеет важное значение в картографии.

Наиболее важны след, классы О. поверхностей.
Изометрическое отображение, к-рое характеризуется тем, что всякая дуга,
лежащая на S, имеет ту же длину, что и образ этой дуги на S'. При таких
О. сохраняются площади фигур, а также углы между двумя направлениями, выходящими
из одной точки (подробнее см. Дифференциалъная геометрия, Изгибание).
Конформное
отображение, при к-ром сохраняются углы между всякими двумя направлениями,
выходящими из одной точки (см. Конформное отображение).
Примером
может служить стереографич. проекция. Сферическое отображение поверхности
S на сферу состоит в том, что каждой точке М поверхности S ставится
в соответствие такая точка М' сферы 2, чтобы нормали к S, проведённые
соответственно в точках М и М', были параллельны. Более общим
является О. двух произвольных поверхностей по параллельности нормалей.
Геодезическое отображение поверхностей, при к-ром любой геодезической линии
на поверхности S соответствует на S' линия также геодезическая. Геодезич.
О. поверхности постоянной отрицательной кривизны на часть плоскости имеет
большое значение для истолкования геометрии Лобачевского. Эквиареальное
отображение поверхности на поверхность, при к-ром площади соответствующих
друг другу фигур равны.

С точки зрения картографии, каждое из трёх
О. кривой поверхности на плоскость - конформное, геодезическое и эквиареальное
- имеет свои преимущества; удовлетворить сразу не только всем этим требованиям,
но даже и к.-л. двум из них оказывается невозможным.

Лит,: Рашевский П. К., Риманова
геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; Бляшке В., Дифференциальная
геометрия и геометрические основы теории относительности Эйнштейна, пер.
с нем., ч. 1, М.- Л., 1935; Гильберт Д. и Кон-фоссен С., Наглядная геометрия,
пер. с нем., 2 изд., М.- Л., 1951.