НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ одно из
важнейших распределений вероятностей. Термин "Н. р." применяют как
по отношению к распределениям вероятностей случайных величин, так и по
отношению к совместным распределениям вероятностей нескольких случайных
величин (т. е. к распределениям случайных векторов).

Распределение вероятностей случайной величины
X наз. нормальным, если оно имеет плотность вероятности



Семейство Н. р. (*) зависит, т. о., от
двух параметров а и о. При этом математическое ожидание X равно
а,
дисперсия X равна б². Кривая Н. р. у=р(х;а,б)
симметрична
относительно ординаты, проходящей через точку х =
а, и имеет
в этой точке_единственный максимум, равный 1/корень из 2Пи*б. С уменьшением
б кривая Н. р. становится всё более и более островершинной (см. рис.).
Изменение а при постоянном б не меняет форму кривой, а вызывает
лишь её смещение по оси абсцисс.
Рис. Кривые плотности нормального
распределения для различных значений параметров а и о: I. а = 0, ст = 2,5;
11. а = 0, a=l; III. а = 0, а =0,4; IV. а = 3, а = 1.

Площадь, заключённая под кривой Н. р.,
всегда равна единице. При а = 0, б = 1 соответств. функция
распределения равна



В общем случае функция распределения Н.
р. (*) F (х; а, б) может быть вычислена по формуле F (х; а, б)
= ф (t), где t = (х - а)/б. Для функции Ф (t)
(и нескольких её производных) составлены обширные таблицы. Для Н. р. вероятность
неравенства |Х - a|>kб, равная 1 - Ф (k) + Ф (-k), убывает
весьма быстро с ростом k (см. табл.).

Во мн. практич. вопросах при рассмотрении
Н. р. пренебрегают поэтому возможностью отклонений от а, превышающих
За,- т. н. правило трёх сигма (соответствующая вероятность, как видно из
табл., меньше 0,003). Вероятное отклонение для Н. р. равно 0,67449 ст.

Н. р. встречается в большом числе приложений.
Издавна известны попытки объяснения этого обстоятельства. Теоретич. обоснование
исключит, роли Н. р. дают предельные теоремы теории вероятностей
(см. также Лапласа теорема, Ляпунова теорема). Качественно соответствующий
результат может быть объяснён след, образом: Н. р. служит хорошим приближением
каждый раз, когда рассматриваемая случайная величина представляет собой
сумму большого числа независимых случайных величин, максимальная из к-рых
мала по сравнению со всей суммой.

Н. р. может появляться также как точное
решение нек-рых задач (в рамках принятой математич. модели явления). Так
обстоит дело в теории случайных процессов (в одной из осн. моделей
броуновского
движения). Классич. примеры возникновения Н. р. как точного принадлежат
К. Гауссу (закон распределения ошибок наблюдения) и Дж. Максвеллу
(закон
распределения скоростей молекул).

Совместное распределение нескольких случайных
величин Xназ.
нормальным (многомерным нормальным), если соответствующая плотность вероятности
имеет вид:



qположительно
определённая квадратичная форма. Постоянная С определяется из того условия,
что интеграл от р
по всему пространству равен 1. Параметры a. . ., aравны математич. ожиданиям X,
. . ., Xсоответственно, а коэфф. qмогут
быть выражены через дисперсии б2, . . . .б²этих величин и коэфф. корреляции рмежду Xи
XОбщее количество параметров, задающих Н. р., равно



и быстро растёт с ростом s (оно
равно 2 при s = 1, 20 при s = 5 и 65 при 5 = = 10). Многомерное Н. р. служит
основной моделью статистического анализа многомерного. Оно используется
также в теории случайных процессов (где рассматривают также Н. р. в бесконечномерных
пространствах).

О вопросах, связанных с оценкой параметров
Н. р. по результатам наблюдений, см. статьи Малые выборки и Несмещённая
оценка. О проверке гипотезы нормальности см. Непараметрические методы
(в
математической статистике). Лит. см. при ст. Распределения. Ю.
В. Прохоров.