НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ
совместимость,
свойство дедуктивной теории (или системы аксиом, посредством к-рых
теория задаётся), состоящее в том, что из неё нельзя вывести противоречие,
т. е. к.-л. два предложения А ? А, каждое из которых является отрицанием
другого. Для широкого класса формальных теорий, включающих аксиому А
&
? А э В ("из противоречия следует любое утверждение"), H.
равносильна существованию в данной теории хотя бы одного недоказуемого
предложения.
H., необходимая для того чтобы система
могла рассматриваться как описание нек-рой "содержательной ситуации", отнюдь
не гарантирует существования такой ситуации. Впрочем, для любой непротиворечивой
системы аксиом в каждом случае могут быть указаны абстрактные модели; поэтому
для представителей "классических" направлений в основаниях математики и
логики (и тем более для представителей моделей теории) H. служит
если и не обоснованием "существования" описываемых аксиомами совокупностей
абстрактных объектов, то по крайней мере достаточным основанием для содержательного
рассмотрения и изучения таких объектов. Поскольку описываемая теорией "ситуация"
лежит вне самой теории, данное выше понятие H., к-рое можно назвать "внутренней"
(иначе-синтаксической, или логической) H., тесно связано с т. н. "внешней"
(семантической) H., заключающейся в недоказуемости в данной теории никакого
предложения, противоречащего (в обычном содержательном смысле) фактам описываемой
ею "действительности". Несмотря на эту связь, синтаксическая и семантическая
H. равносильны лишь для таких "бедных" логич. теорий, как, напр., исчисление
высказываний (см. Логика высказываний)', вообще же говоря, внутренняя
H. сильнее внешней. Роль отображаемой к.-л. конкретной теорией "действительности"
может играть и нек-рая другая дедуктивная теория, так что внешнюю H. исходной
теории можно понимать как её относительную H., а указание системы соответствующих
се-мантич. правил перевода понятий, выражений и утверждений из второй теории
в первую, дающее интерпретацию (модель) исходной теории, оказывается
для неё доказательством относительной H. В классической математике источником
построения моделей для таких доказательств служит в конечном счёте множеств
теория. Однако обнаружение в теории множеств парадоксов (антиномий)
обусловило
потребность поиска новых, принципиально отличных от метода интерпретаций,
методов доказательства H.,- в нек-ром смысле "абсолютных". (Такая потребность
возникает и в силу несовпадения понятий внутренней и внешней H.) Можно
избрать и промежуточный путь, требуя абсолютное доказательство H. только
для аксиоматической теории множеств (к к-рой уже можно было бы сводить
проблемы H. конкретных мате-матич. теорий чисто теоретико-модельными средствами)
или даже хотя бы для такого относительно простого её фрагмента, как формализованная
арифметика натуральных чисел, т. к. средствами последней строится теоретико-множественный
"универсум" (предметная область) осн. разделов классич. математики. Такой
путь и избрал Д. Гильберт, предложивший широкую программу, в ходе
выполнения к-рой обосновываемые теории прежде всего подвергались бы формализации,
а
полученные формальные системы (исчисления) исследовались бы на предмет
их синтаксич. H. т. н. финитными (т. е. содержательными, но не использующими
сомнительных теоретико-множественных абстракций) средствами. Такие абсолютные
доказательства H. составили основное содержание развиваемой школой Гильберта
метаматематики
(теории доказательства). Но уже в 1931 К. Гёдель
доказал принципиальную
невыполнимость гильбертовой программы, а тем самым и ограниченность аксиома-тич.
метода, в рамках к-рого для достаточно богатых формальных теорий требования
H. и полноты оказываются несовместимыми (подробнее см. Аксиоматический
метод). Что же касается содержательных дедуктивных теорий (в т. ч.
и математических), по отношению к к-рым требование полноты теряет смысл,
то для них H. по-прежнему остаётся важнейшим необходимым критерием осмысленности
и практич. приложимости.
Лит.: К л и н и С. К., Введение
в метаматематику, пер. с англ., M., 1957 (имеется лит.). См. также лит.
при статьях Аксиоматический метод, Метаматематика.
Ю. А. Гастев.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я