НЕПРЕРЫВНАЯ ДРОБЬ

НЕПРЕРЫВНАЯ ДРОБЬ цепная дробь,
один из важнейших способов представления чисел и функций. H. д. есть выражение
вида

где a1,...
- натуральные числа, наз. нeпoлными частными, или э л ементами,
данной H. д. К H. д., изображающей нек-рое число \фд, можно прийти, записывая
это число в виде =

где фО
< l/1< 1, затем записывая
в таком же виде? и т. д. Число
элементов H. д. может быть конечным или бесконечным; в зависимости от этого
H. д. называют конечной или бесконечной. H. д. (1) часто символически обозначают
так:

[a0; a1, a2,..., an,...] (бесконечная
H. д.) (2) или [a0; a1, a2,...,n]
(конечная
H. д.). (3) Конечная H. д. всегда представляет собой рациональное число;
обратно, каждое рациональное число может быть представлено в виде конечной
H. д. (3); такое представление единственно, если потребовать, чтобы а<>1. H. д. [aa2,..., ak] (k <=n),
записанную
в виде несократимой дроби
pk/qk, называют подходящей дробью порядка
k данной H. д. (2). Числители и знаменатели подходящих дробей связаны
рекуррентными формулами:

pq,

к-рые служат основанием всей теории
H. д. Из этих формул непосредственно вытекает важное соотношение

p±1.

Для каждой бесконечной H. д. существует
предел

наз. значением данной H. д. Каждое
иррациональное число является значением единственной бесконечной H. д.,
получаемой разложением указанным
выше образом, напр. (e - 1)/2 = [О, 1, 6, 10, 14, 18, ...]; 1SQR(2) = [1,
2, 2, ...]; квадратичные иррациональности разлагаются в периодические H.
д.

Осн. значение H. д. для приложений
заключается в том, что подходящие дроби являются наилучшими приближениями
числа а, то есть, что для любой другой дроби т/п, знаменатель к-рой
не более
qимеет место неравенство |п
- т|>|qпри
этом |q<1/qНечётные подходящие дроби больше а, а чётные
- меньше. При возрастании
k нечётные подходящие дроби убывают, а
чётные возрастают.

H. д. используются для приближения
иррациональных чисел рациональными. Напр., известные приближения 22/7,
355/113 для числа (отношения длины
окружности к диаметру) суть подходящие дроби для разложения
в H. д. Следует отметить, что первое доказательство иррациональности чисел
е
и
было дано в 1766 нем. математиком И. Ламбертом с помощью H. д. Франц. математик
Ж. Лиувилль доказал: для любого алгебраического числа
степени n можно найти такую постоянную,
что для любой дроби x/y выполняется неравенство |-
х/у|
>/yⁿ. С помощью
H. д. можно построить числа такие,
что разность | - pделается
меньше/qкакую
бы постоянную мы ни взяли. Так,
используя H. д., можно строить трансцендентные числа. Недостатком H. д.
является
чрезвычайная
трудность арифметич. действий над ними, равносильная прак-тич. невозможности
этих действий; напр., зная элементы двух дробей, мы не можем сколько-нибудь
просто получить элементы их суммы или произведения.

H. д. встречаются уже в 16 в. у P.
Бомбелли.
В
17 в. H. д. изучал Дж. Валлис; ряд важных свойств H. д. открыл X.
Гюйгенс,
занимавшийся ими в связи с теорией зубчатых колёс. Многое сделал для
теории H. д. Л. Эйлер в 18 в.

В 19 в. П. Л. Чебышев, А. А.
Марков
и
др. применили H. д., элементами к-рых являются многочлены, к изучению
ортогональных
многочленов.

Лит.: Чебышев П. Л., Полное
собрание сочинений, 2 изд., т. 1, М.- Л., 1946; X и н ч и н А. Я., Цепные
дроби, 2 изд., М.- Л., 1949; Эйлер Л., Введение в анализ бесконечно малых,
пер. с лат., т. 1, М.- Л., 1936; CT и л ть ее T. И., Исследования о непрерывных
дробях, пер. с франц., Хар.-К., 1936; Perron О., Die Lehre von den Kettenbruchen,
2 Auf 1., Lpz.-В., 1929; W a 1 1 H. S., Analytic theory of continued fractions,
Toronto - N. Y.- L., 1948.