НЕПРЕРЫВНАЯ ГРУППА

НЕПРЕРЫВНАЯ ГРУППА математич.
понятие, как и понятие обыкновенной группы, возникающее при рассмотрении
преобразований. Пусть M - множество элементов x к.-л. рода,
напр, чисел, точек пространства, функций и т. п. Говорят, что имеется преобразование
f
множества
M,
если каждому элементу x из M поставлен в соответствие
определённый элемент

также принадлежащий M; при этом предполагается,
что для каждого у найдётся такой элемент х, и притом единственный,
к-рый удовлетворяет уравнению (1). T. о., уравнение (1) разрешимо относительно
x:

x=f^-1(y),

и f^-1 также есть
преобразование множества M. Преобразование f^-1 наз.
обратным к преобразованию f. Преобразование е, переводящее
каждый элемент x в себя, е (x) = х, наз. тождественным.
Если имеется два преобразования f и g, то последовательное
их применение даёт новое преобразование k: k(x)=f[g(x)]

Преобразование k наз. произведением
преобразований f и g:

k = fg.

Умножение нек-рого преобразования f
на
тождественное е не меняет его:

fe = ef = f. (2)

Произведение преобразования f на
его обратное f^-1 даёт тождественное:

ff^-l = f^-lf=e.
(3)
Для любых трёх преобразований имеет место ассоциативный закон:

(4)

Совокупность всех преобразований множества
M является группой. Можно, однако, рассматривать совокупность не всех преобразований,
а любую такую совокупность преобразований, что наряду с каждым преобразованием
в неё входит обратное к нему, а наряду с каждыми двумя - их произведение.
Тогда мы также имеем группу преобразований (подгруппу группы всех преобразований
множества M). Если множество M является непрерывной средой (топологическим
пространством), точнее говоря, если известно, что значит

где x1, x. . . -нек-рая последовательность элементов из M, а х также
принадлежит M (как это имеет место, напр., в множестве чисел или
точек), то можно выделить непрерывные преобразования. Преобразование f
наз.
непрерывным, если из (5) следует

Множество всех непрерывных преобразований
составляет группу непрерывных преобразований. Во многих случаях (но не
всегда) группа непрерывных преобразований сама естественным образом оказывается
непрерывной средой, т. е. в ней определяется понятие предельного перехода:
можно говорить о том, что нек-рая последовательность преобразований сходится
к преобразованию. При этом оказывается, что из

следует

Такая группа наз. H. г. преобразований.
Пусть M есть множество точек плоскости. Преобразование f наз.
движением плоскости, если для каждой пары точек x и у из
M
расстояние
между x и у равно расстоянию между f(x)
и
f(y).
Преобразование
плоскости наз. проективным, если точки, лежащие на одной прямой, переходят
в точки, также лежащие на одной прямой. Частным случаем проективного преобразования
является аффинное, при к-ром параллельные прямые переходят в параллельные.
Здесь мы имеем три простейших геометрич. примера H. г. преобразований:
группу движений, группу проективных преобразований и группу аффинных преобразований.
Если рассматривать те свойства геометрич. фигур на плоскости, к-рые не
меняются при движениях плоскости, то мы получим обычную элементарную геометрию.
Аналогично возникают геометрии проективная и аффинная, Ф. Клейном была
выдвинута общая точка зрения (см. Эрлангенская программа), согласно
к-рой геометрия есть наука, изучающая те свойства фигур, к-рые не меняются
при заданной группе непрерывных преобразований. Отсюда - роль теории H.
г. в геометрии. Примем за множество M всевозможные упорядоченные
системы по n
чисел x1, xк-рые
будем трактовать как компоненты вектора х. Рассмотрим т. н. линейное
преобразование
f, переводящее вектор х в вектор
у с
компонентами
yпричём
преобразование задаётся формулой

Множество всех линейных преобразований
составляет H. г. преобразований. Можно рассматривать не все линейные преобразования,
а, напр., такие, к-рые не меняют длины векторов, т. е. для к-рых выполнено
условие: x2+x2+...+x2=y2+y2+...+y2

Такие преобразования составляют группу
линейных ортогональных преобразований. Группы линейных преобразований играют
весьма важную роль, в частности находят своё приложение в квантовой механике.

Совр. развитие теории групп показало,
что при изучении группы целесообразно бывает отвлечься от того факта, что
элементы её являются преобразованиями, а следует трактовать группу просто
как множество элементов, в к-ром установлена операция умножения, т. е.
каждой паре элементов группы поставлен в соответствие элемент, наз. произведением
исходных: k
= fg, причём в качестве аксиом выдвигаются условия
(2), (3), (4). Элемент е, раньше бывший тождественным преобразованием,
теперь наз. единицей группы. Вместо обратного преобразования появляется
обратный элемент. Существование единицы и обратного элемента теперь являются
аксиомами. Если для любых двух элементов f и g верно fg =
gf,
то
группа наз. коммутативной. Для того чтобы получить H. г., следует предположить,
что элементы её составляют топологическое пространство и что операция умножения
непрерывна, т. е. выполнено условие (6), к-рое теперь выдвигается как аксиома.
Так возникло в математике новое, абстрактное понятие непрерывной, или,
что то же самое, топологической группы. Логически оно слагается из операции
перемножения и операции предельного перехода. Так как обе эти операции
весьма часто встречаются в математике, то понятие H. г. принадлежит к числу
важных и находит многочисленные приложения. Важнейшим типом H. г. являются
группы Ли (С. Ли - основоположник теории H. г.). Если в окрестности
единицы группы можно ввести координаты, т. е. каждый элемент f задать
числами f1, f2, . . ·, fr - его координатами, то закон умножения
k
= fg можно записать для элементов, близких к единице, в координатной
форме:

k1 =i(f1,
f2, ···,fr; g1, g2, ··· gr), (7)

i = 1,2,..., r,

гдеi
- непрерывная функция всех переменных. Если ещё предположить, что функцииi
трижды непрерывно дифференцируемы, то мы придём к понятию группы Ли. Если
считать, что координаты единицы все равны нулю, т. е. если принять единицу
за начало координат, то, разлагая в ряд Тейлора правую часть соотношения
(7), получим

Числа

сi=аi-аi

наз. структурными константами группы
Ли, и к изучению их полностью сводится изучение группы Ли.

Лит.: Понтрягин Л. С., Непрерывные
группы, 3 изд., M., 1973 (имеется библ.).

Л. С. Понтрягин.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я