НЕОПРЕДЕЛЁННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ в математике,
выражения, предел к-рых не может быть найден путём непосредств.
применения теорем о пределах. Типы H. в.:

где е = 2,71828...- неперово число.
Указанные
типы H.в. символически обозначают так: 1) 0/0, 2)oo/oo, 3)0·oo, 4)oo -
oo, 5) 1°°, 6)0°, 7)oo°. Следует отметить, что данная функция может являться
H. в. при одних значениях аргумента и не являться таковым при других (напр.,
выражение (sin x)/x при x-> не является
H. в.). Не всякое H. в. имеет предел; так, выражение

при х->0 не стремится ни к какому
пределу

не существует).

Нахождение предела H. в. (в случае,
когда он существует) наз. иногда "раскрытием неопределённости", или нахождением
"истинного значения" H. в. (второй термин устарел). Оно часто основывается
на замене данной функции другой, имеющей тот же предел, но не являющейся
уже H. в. Иногда такая замена достигается путём алгебраич. преобразований.

Так, напр., сокращая в выражении

числитель и знаменатель на 1-х,

поэтому

Для вычисления пределов H. в. типов
1) и 2) часто оказы-вается полезной теорема (или правило) Лопиталя, утверждающая,
что в этих случаях

если f(x) и g(х) дифференцируемы
в окрестности (конечной или бесконечно удалённой) точки xза возможным исключением самой точки x, и второй предел
существует. Пользуясь этой теоремой, находим, напр., что

Иногда f'(x)/g'(x)- вновь является
H. в. вида 1)или 2); тогда теорема Лопиталя может быть применена (при выполнении
её условий) ещё раз и т. д. Однако это не всегда приводит к цели; напр.,
применение теоремы Лопиталя к H. в.

[f(x)=е^x-е^-x,
g(x)= е^x-е^-x],при
ничего не даёт. Может также случиться,

не существует, тогда как

типа 1) или 2) всё же существует; пример:

не существует. Мощным средством нахождения
пределов H. в. является разложение функций в ряды. Напр., так как

H. в. видов 3)-7) могут быть сведены
к одному из видов 1) или 2). Так, напр., при x->/2
Н. в.

вида 4) преобразуется к виду 1):

а последнее H. в. имеет предал 0; H.
в. вида 3) приводится к H. в. вида 1) или 2) преобразованием f(x)g(x)
=f(x)/h(x),
или g(x)/k(x), где h(x)=1/g(x), k(x)=1/f(x)

Наконец, если через и(х) обозначить
логарифм H. в. видов 5), 6) и 7): u(x)=g(x)lnf(x), то и(х) является
H. в. вида 3), к-рое, как указано, сводится к H. в. вида 1) или 2). Так
как {f(x)}^g(x) =е^u(x), то, найдя предел и(х)
(если
он существует), можно найти и предел данного H. в. Напр., для
х^xпри
x->0 имеем

и, следовательно,

Лит.: Ильин В. А., Позняк Э.
Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, M., 1971; К у д р я в
ц е в Л. Д., Математический анализ, 2 изд., т. 1, М.„ 1973.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я