НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ МЕТОД

НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ МЕТОД один
из методов ошибок теории для оценки неизвестных величин по результатам
измерений, содержащим случайные ошибки. H. к. м. применяется также для
приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями
и часто оказывается полезным при наблюдений обработке. H. к. м.
предложен К. Гауссом (1794-95) и А. Лежандром (1805-06).
Первоначально H. к. м. использовался для обработки результатов астрономич.
и геоде-зич. наблюдений. Строгое матем. обоснование и установление границ
содержательной применимости H. к. м. даны А. А. Марковым (старшим)
и A. H. Колмогоровым. Ныне H. к. м. представляет собой один из важнейших
разделов матем. статистики и широко используется для статистич. выводов
в различных областях науки и техники.

Сущность обоснования H. к. м. (по Гауссу)
заключается в допущении, что "убыток" от замены точного (неизвестного)
значения физ. величины её приближённым
значением X, вычисленным по результатам наблюдений, пропорционален
квадрату ошибки: (X -)².
В этих условиях оптимальной оценкой естественно признать такую лишённую
систематич. ошибки величину X, для к-рой среднее значение "убытка"
минимально. Именно это требование и составляет основу H. к. м. В общем
случае отыскание оптимальной в смысле H. к. м. оценки X - задача весьма
сложная, поэтому практически эту задачу сужают и в качестве X выбирают
линейную функцию от результатов наблюдений, лишённую систематич. ошибки,
и такую, для к-рой среднее значение "убытка" минимально в классе всех линейных
функций. Если случайные ошибки наблюдений подчиняются
нормальному распределению
и
оцениваемая величина зависит от средних
значений результатов наблюдений линейно (случай, весьма часто встречающийся
в приложениях H. к. м.), то решение этой задачи будет одновременно являться
и решением общей задачи. При этом оптимальная оценка
X
также подчиняется
нормальному распределению со средним значением
и, следовательно, плотность вероятности случайной величины X

(х;,)
= (1/SQR(2))(-[(x-)/]²/2)
при х=Х достигает максимума в точке
= X (это свойство и выражает точное содержание распространённого
в теории ошибок утверждения "оценка X, вычисленная согласно H. к.
м.,- наиболее вероятное значение неизвестного параметра).

Случай одного неизвестного. Пусть для
оценки значения неизвестной величины
произведено
n
независимых наблюдений, давших результаты YYт. е. Y
+
++где- случайные ошибки (по определению, принятому в классической теории ошибок,
случайные ошибки - независимые случайные величины с нулевым математическим
ожиданием: Е = 0;
если же Е<>0,
то Е наз. систематическими
ошибками). Согласно H. к. м., в качестве оценки величины
принимают такое X, для к-рого будет наименьшей сумма квадратов (отсюда
и само название метода):

(коэффициент k > 0 можно выбирать
произвольно). Величину pназ. весом, а- квадратичным отклонением измерения с номером i. В частности,
если все измерения равноточны, то
=,
и в этом случае можно положить1
== 1; если же каждое Ynравноточных
измерений, то полагаютi =
ni.

Сумма S (X) будет наименьшей,
если в качестве X выбрать взвешенное среднее:

Оценка Y величины
лишена систематич. ошибки, имеет вес P и дисперсию DY = k/Р. В частности,
если все измерения равноточны, то Y - арифметич. среднее результатов измерений:

При нек-рых общих предположениях можно
показать, что если количество наблюдений n достаточно велико, то
распределение оценки Y мало отличается от нормального с математич. ожиданием
и дисперсией k/P. B этом случае абс. погрешность приближённого равенства

=
Y меньше
t SQR(k/P) с вероятностью, близкой к значению интеграла

[напр., I (1,96) = 0,950; I (2,58)
= 0,990; I (3,00) = 0,997].

Если веса измеренийi
заданы, а множитель
k
до наблюдений остаётся неопределённым, то
этот множитель и дисперсия оценки Y могут быть приближённо оценены по формулам:

(обе оценки лишены систематич. ошибок).
В том практически важном случае, когда ошибки,
подчиняются нормальному распределению, можно найти точное значение вероятности,
с к-рой абс. погрешность приближённого равенства
Y
окажется меньше ts (t - произвольное положительное число). Эту вероятность,
как функцию от t, наз. функцией распределения Стьюдента с n -
1 степенями свободы и вычисляют по формуле:

где постоянная Cвыбрана
таким образом, чтобы выполнялось условие: I =
1. При больших n формулу (2) можно заменить формулой (1). Однако
применение формулы (1) при небольших n привело бы к грубым ошибкам.
Так, напр., согласно (1), значению I = 0,99 соответствует t = 2,58;
истинные значения t, определяемые при малых n как решения соответствующих
уравнений I0,99, приведены в таблице: