МОМЕНТ

МОМЕНТ (лат. momentum - движущая
сила, толчок, побудительное начало, от moveo - двигаю), математич. понятие,
играющее важную роль в механике и теории вероятностей. Если на прямой линии
расположена система материальных точек, массы к-рых соответственно равны
ял, т0), а абсциссы относительно нек-рого начала
отсчёта О равны х\, х..., то м о м е н т о м порядка
k
этой
системы относительно точки О наз. сумму

М. первого порядка в механике наз. статическим
моментом, а М. второго порядка - моментом инерции. Если в выражении
М. все абсциссы заменить их абс. значениями, то получатся т. н. абсолютны
М. Точку с абсциссой (СУММА iXimi)l(СУММА imi) наз. центром данной
системы масс. М., вычисленные относительно центра, наз. центральными. Центр.
М. первого порядка для всякой системы равен нулю. Из всех М. инерции центральный
является наименьшим. Неравенство Ч е б ы ш е в а: сумма масс, находящихся
от точки О на расстоянии, большем а, не превышает М. инерции системы
относительно О, разделённого на а².

Если распределение массы имеет плотность
f(x)>=0,
то
М. порядка k наз. интеграл

при условии его абс. сходимости. В случае
произвольно распределённой массы, суммы в выражениях для М. заменяются
интегралами Стилтьеса (см. Интеграл); именно таким путём и возник
впервые интеграл Стилтьеса. Все упомянутые определения и теоремы при этом
сохраняют силу.

В теории вероятностей роль абсцисс играют
различные возможные значения случайной величины, а на места масс
становятся соответствующие вероятности. М. первого порядка (к-рый здесь
всегда является абсциссой центра, т. к. полная масса равна 1)наз. математическим
ожиданием данной случайной величины, а центр. М. второго порядка -её
дисперсией.
В
теории вероятностей чрезвычайно важную роль играет упомянутое неравенство
Чебышева. В математич. статистике М. служат обычно осн. статистич. сводными
характеристиками распределений.

Задача математич. анализа, состоящая в
том, чтобы охарактеризовать свойства функции f(x) по свойствам последовательности
её М.:

носит назв. проблемы моментов. Эта задача
впервые рассматривалась П. Л. Че-бышевым в 1874 в связи с исследованиями
по теории вероятностей (попытка доказать центральную предельную теорему).
Позже при исследовании этой задачи возникли новые мощные методы математич.
анализа.

X. К. Б. Мольтке.

Т. Моммзен.

Лит.: Чебышев П. Л., Избр. труды,
М., 1955; Марков А. А., Избр. труды, М., 1951; Гнеденко Б. В., Курс теории
вероятностей, 5 изд., М., 1969; Лоэв М., Теория вероятностей, пер. с англ.,
М., 1962.