МОДЕЛЕЙ ТЕОРИЯ
раздел математики,
возникший при применении методов математич. логики в алгебре. Ко 2-й пол.
20 в. М. т. оформилась в самостоят, дисциплину, методы и результаты к-рой
находят применение как в алгебре, так и в др. разделах математики.
Осн. понятия М. т. - понятия алгебраич.
системы, формализованного языка, истинности высказывания рассматриваемого
языка в данной алгебраич. системе. Типичным примером алгебраич. системы
является система натуральных чисел вместе с операциями сложения и умножения,
отношением порядка и выделенными элементами 0,1. Простейшие высказывания
об этой системе - выска-
и, значит, получается из простейших при
помощи пропозициональных связок и кванторов.
В общем случае под алгебраической системой
понимается непустое множество вместе с заданными на этом множестве совокупностями
отношений и операций от конечного числа аргументов. Эти операции и отношения
наз. основными в алгебраич. системе. Каждой такой операции и каждому такому
отношению ставится в соответствие
пропозициональные связки и кванторы (см.
ниже); набора символов, наз. предметными переменными, а также скобок и
запятой. При этом каждому символу отношения или операции приписывается
натуральное число, наз. местностью этого символа; оно равно числу аргументов
той операции или того отношения, к-рым соответствует рассматриваемый символ.
В число символов отношений включается специальный символ = для отношения
равенства. Индуктивно определяются понятия терма и формулы. Предметные
переменные являются термами.
Более сложные формулы получаются из простейших
с помощью конечного числа связываний их знаками кванторов и пропозициональных
связок. Символы предметных переменных, встречающиеся в формуле, разделяются
на свободные и связанные. Связанные те, к-рые находятся в области действия
квантора по этому переменному, а остальные свободные. Напр., в формуле
ет n-местное отношение. Напр., формула,
записывающая утверждение, что числа и и v взаимно простые,
определяет на натуральных числах отношение взаимной простоты, к-рое для
пары (3, 5) истинно, а для пары (2, 4) ложно. Для простейших формул соответствующее
отношение фактически задаётся самой системой А. Для более сложных
формул соответствующее отношение определяется путём интерпретации кванторов
и
этому определению, каждое высказывание
в каждой алгебраич. системе соответствующей сигнатуры либо ложно, либо
истинно. Например, если символу f ставится в соответствие операция
сложения на натуральных числах, то формула
раич. систем наз. аксиоматизируемым, если
К
есть совокупность всех моделей нек-рого множества высказываний. Мн.
важные классы алгебраич. систем, напр, классы групп, колец, полей, аксиоматизируемы.
Изучение общих свойств аксиоматизируемых
классов - важная часть М. т. Во мн. случаях по форме высказываний
Фундаментальный результат М. т.-локальная
теорема Мальцева (1936), согласно к-рой если каждая конечная
дель. А. И. Мальцев нашел многочисл.
применения своей теоремы для доказательства т. н. локальных теорем алгебры.
Важным фактом в теории аксиоматизируемых классов является теорема Лё-венхейма
- Сколема: всякий аксиоматизируемый класс конечной или счётной сигнатуры,
содержащий бесконечные системы, содержит и счётную систему. В частности,
нельзя написать такую совокупность высказываний, все модели к-рой были
бы изоморфны одной бесконечной алгебраич. системе, напр, полю комплексных
чисел или кольцу целых чисел. Но тем не менее существуют аксиоматизируемые
классы, все системы к-рых данной бесконечной мощности изоморфны .
Одной из важных конкретных совокупностей
высказываний является совокупность, определяющая понятие множества. Это
понятие описывается на языке 1-й ступени, сигнатура которого состоит из
одного символа - символа бинарного отношения, интерпретируемого как "х
есть
элемент y". Существует несколько вариантов таких описаний, каждый из к-рых
осуществляется при помощи своей совокупности высказываний. Эти совокупности
наз. системами аксиом для теории множеств. Развитие М. т. показало, что
нельзя выбрать такую систему аксиом для теории множеств, к-рая удовлетворила
бы все потребности математики (см. также Аксиоматическая теория множеств).
Центральная часть совр. М. т.- это изучение
элементарных теорий, т. е. теорий, описываемых на языке 1-й ступени. Однако
постепенно всё возрастающее место отводится и изучению теорий, описываемых
при помощи более богатых языков.
Историческая справка. Осн. понятия
М. т. возникли в математике в 19 в., гл. обр. в работах по основаниям геометрии.
К понятию модели данного множества высказываний вплотную подошёл Н. И.
Лобачевский
в работах по геометрии. В полной мере оно появилось в работах Э. Белътрами
и Ф. Клейна, построивших модели геометрии Лобачевского. Совр.
формулировки осн. понятий М. т. сложились в работах школ Д. Гильберта
и А. Тарского. М. т. возникла в нач. 30-х гг. 20 в. в результате
применения методов математич. логики в алгебре, одним из инициаторов к-рого
был А. И. Мальцев.
Лит.: Мальцев А. И., Алгебраические
системы, М., 1970; Робинсон А., Введение в теорию моделей и метаматематику
алгебры, пер. с англ., М., 1967.
А. Д. Тайманов, М. А. Тайцлин.
А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я