МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО

МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО множество
объектов (точек), на к-ром введена метрика. Всякое М. п. является
топологическим
пространством; за окрестности в нём принимаются всевозможные открытые
шары [при этом открытым шаром радиуса R с центром в точке
Хо
наз.
совокупность всех точек х, для к-рых расстояние р (х, х< R]. Топология одного и того же множества может быть различной
в зависимости от метрики, введённой на нём. Напр., на множестве веществ,
функций, определённых и непрерывных на отрезке [а, b] числовой оси,
можно ввести две метрики:

Соответствующие М. п. обладают разными
топологич. свойствами. М. п. с метрикой (1) является полным [для любой
последовательности его точек \Хп} такой, что pi (Хп, х->
0 при п, т -> °°, найдётся элемент Хо М. п., являющийся пределом
этой последовательности]; М. п. с метрикой (2) этим свойством не
обладает. В М. п. можно вводить фундаментальные понятия анализа: непрерывность
отображения одного М. п. в другое, сходимость, компактность и т. д. Понятие
"М. п." было введено М. Фреше в 1906.

Лит.: Александров П. С., Введение
в обшую теорию множеств и функций, М.- Л., 1948; Колмогоров А. Н., фомин
С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 3 изд., М., 1972;
Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд.,
М., 1965.

В. И. Соболев.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я