МЕРА МНОЖЕСТВА

МЕРА МНОЖЕСТВА математическое понятие,
обобщающее понятия длины отрезка, площади плоской фигуры и объёма тела
на множества более общей природы. В качестве примера можно привести определение
меры Лебега (введённой А. Лебегом в 1902) для ограниченных множеств,
лежащих на плоскости. При определении меры Лебега, так же как и при определении
площади плоских фигур в геометрии, исходят из сравнения части плоскости,
занимаемой множеством, с выбранной единицей измерения. При этом и способ
сравнения напоминает обычный процесс измерения площади. Меру Лебега m (Д)
любого квадрата Д полагают равной его площади. Затем рассматриваемое множество
А
покрывают
конечным или бесконечным числом квадратов Д..., Дравную m(Дназывают верхней (внешней) мерой т* (А) множества
А,
Нижняя
(внутренняя) мера m* (А) множества А определяется как разность m(Д)
- - m*(А), где Д - к.-л. квадрат, содержащий множество А, и А
- множество всех точек этого квадрата, не содержащихся в А. Множества,
для к-рых верхняя мера равна нижней, называют измеримыми по Лебегу, а общее
значение т (А) верхней и нижней мер - мерой Лебега множества А.
Геометрич. фигуры, имеющие площадь в элементарном смысле (см. Квадрируемая
область), измеримы, и их мера Лебега совпадает с их площадью. Однако
существуют и неквадрируемые измеримые множества. Аналогично можно определить
меру Лебега на прямой. При этом верхнюю меру определяют, рассматривая покрытия
множества интервалами. Осн. свойства меры Лебега: 1) мера любого множества
неотрицательна: m(A)>=0; 2) мера суммы А=сумме (по n от 1 до бесконечности)
AАm(A)=cумма (по n от 1 до бесконечности) m(А

3) при перемещении множества как твердого
тела его мера не меняется.

Своеобразие понятия "М. м." можно пояснить
следующим примером: множество А рациональных точек интервала (0,1) и множество
В
иррациональных
точек того же интервала сходны в том смысле, что каждое из, них плотно
на интервале (0,1), т. е., что между любыми двумя точками указанного интервала
найдутся как точки множества А, так и точки множества
В, в то же
время они резко различаются по мере: т (А) = 0, а т(В)

= 1.

Для более узких классов множеств мера,
совпадающая с лебеговской, была ранее определена М. Э. К. Жорданом
(1893)
и Э. Борелем (1898). О других вопросах, связанных с мерой Лебега,
см. Интеграл.

Развитие ряда отделов совр. математики
привело к дальнейшим обобщениям - созданию т. н. абстрактной теории меры.
При этом М. м. определяют аксиоматически. Пусть U - произвольное
множество и функцию м(А), определённую для всех А, входящих в <М, называют
мерой, если она вполне аддитивна [т. е., если для любой последовательности
непересекающихся множеств А..., входящих в <М, сумма А к-рых входит в <М, имеет место
равенство y(A)=сумма (по n от 1 до бесконечности) y[(Аесли кроме того, система <М удовлетворяет определенным дополнительным
условиям. Множества, входящие в <М, называют измеримыми (по отношению
к мере y). После того как определена мера y, вводят по нятие измеримых
(по отношению к y) функций и операцию интегрирования.

Многие осн. утверждения из теории меры
Лебега, теории измеримых функций и интеграла Лебега сохраняются с соответствующими
видоизменениями и в абстрактной теории меры и интеграла. Последняя составляет
матем. основание совр. теории вероятностей, данное в 1933 А. Н. Колмогоровым.
Спец. интерес для ряда областей математики представляют меры, инвариантные
по отношению к той или иной группе преобразований множества U в себя.

Лит.: Колмогоров А. Н., Ф о-мин
С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 3 изд., М., 1972;
Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с франц.,
М.- Л., 1934; Сакс С., Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949; Xалмош
П. Р., Теория меры, пер. с англ., М., 1953. - Ю. В. Прохоров.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я