МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ

МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ понятие
игр теории. М. и. - игры, в к-рых участвуют два игрока (I и II)
с противоположными интересами, причём каждый игрок имеет конечное число
чистых стратегий. Если игрок I имеет т стратегий, а игрок
II -п стратегий, то игра может быть задана (m x n)-матрицей А
= || a, где a есть выигрыш
игрока I, если он выберет стратегию i (z = 1, ...,т), а игрок II
-стратегию j (j = 1, ..., га). Следуя общим принципам поведения
в антагонистических играх (частным случаем к-рых являются М. и.),
игрок I стремится выбрать такую стратегию i

игрок II стремится выбрать стратегию j

Если Vi = V2,
то пара (iТ: е. выполняется двойное неравенство a< a<aaiназ.
значением игры; стратегии iчистыми стратегиями игроков I и II соответственно. Если v
не равно vто всегда v <vв этом случае в игре седловой точки нет, а оптимальные стратегии игроков
следует искать среди их смешанных стратегий (т. е. вероятностных распределений
на множестве чистых стратегий). В этом случае игроки оперируют уже с матем.
ожиданиями выигрышей.

Основная теорема теории М.
и. (теорема Неймана о мини максе) утверждает, что в любой М. и. существуют
оптимальные смешанные стратегии х*, у*, на к-рых достигаемые «минимаксы»
равны (общее их значение есть значение игры). Напр., игра с матрицей
имеет седловую точку при iигры равно 2: игра с матрицей
не имеет седловой точки. Для нее оптимальные смешанные стратегии суть х*=
(3/4, 1/4), у* = (1/2, 1/2); значение игры равно 1/2.

Для фактич. нахождения оптимальных
смешанных стратегий чаще всего используют возможность сведения М. и. к
задачам линейного программирования. Можно использовать т. н. итеративный
метод Брауна - Робинсон, состоящий в последовательном фиктивном разыгрывании»
данной игры с выбором игроками в каждой данной партии своих чистых стратегий,
наилучших против накопленных к этому моменту стратегий оппонента. Игры,
в к-рых один из игроков имеет только две стратегии, просто решить графически.

М. и. могут служить математич.
моделями многих простейших конфликтных ситуаций из области экономики, математич.
статистики, воен. дела, биологии. Нередко в качестве одного из игроков
рассматривают «природу», под к-рой понимается вся совокупность внешних
обстоятельств, неизвестных принимающему решения лицу (другому игроку).

Лит.: Матричные игры.
[Сб. переводов], под ред. Н. Н. Воробьева, М., 1961; Нейман Д ж. фон, Моргенштерн
О., Теория игр и экономическое поведение, пер. с англ., М., 1970; Оуэн
Г., Теория игр, пер. с англ., М., 1971. А. А. Корбут.