МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КАРТОГРАФИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КАРТОГРАФИЯ картографическая
дисциплина, изучающая теорию картографических проекций,
преобразований
их, методы изыскания проекций и способы рационального применения их на
практике. Иногда в М. к. включают весь комплекс вопросов, относящихся к
математич. обоснованию карт (компоновка карт, расчёт рамок и др.), а также
способы и средства измерений на картах (см. Картометрия).
М. к.
тесно связана с математикой, геодезией, со всеми картографич. и др. дисциплинами.
На первых этапах (6 в. до н. э. - 17 в. н. э.) развития М. к. изобретались,
исследовались и использовались отд. картографич. проекции, затем (18 в.-
нач. 20 в.) изучались также отд. классы проекций и др. совокупности их.


С сер. 20 в. успешно развивается теория
создания новых методов получения различных (зачастую новых) классов или
групп проекций, а также теория преобразований их. Методы совр. М. к. механизируются
и автоматизируются, в частности используются ЭВМ для различных целей.


В М. к. различают прямую и обратную задачи.
Прямая задача М. к. - исследование свойств картографич. проекций, заданных
уравнениями вида x = fф и Л - широта и долгота точки на земном эллипсоиде. Эта задача
решается формулами теории искажений. Обратная задачам, к. имеет целью восстановление
уравнений (1), или, более обще, нахождение проекций по заданным в них распределениям
искажений. В процессе историч. развития М. к. использовались различные
методы построения проекций: геометрич., аналитич., графоаналитич. и др.,
применимые, однако, к получению отд. проекций или довольно узких совокупностей
их. Общий метод изыскания проекций, дающих в то же время решение обратной
задачи М. к., следует из системы Эйлера - Урмаева

1533-1.jpg

где т и п - масштабы по
меридианам и параллелям, е - угол между их изображениями, 7 - сближение
меридианов. Это - система двух квазилинейных уравнений с частными производными
1-го порядка (напр., nуравнений - два, функций - четыре. Различные способы доопределения системы
(2), выполняемые на основе априорного задания, нужного для практики размещения
искажений, позволяют исследовать всевозможные классы проекций. С точки
зрения анализа система (2) даёт необходимые и достаточные условия существования
проекций с заданными в них распределениями искажений. Систему (2), формулы
теории искажений и нек-рые их модификации относят к основным уравнениям
М. к. При изысканиях новых проекций широко применяют методы численного
анализа, теорию конформных и квазиконформных отображений, вариационное
исчисление и др.


Система (2) приводит к генетической классификации
кар-тографич. проекций, являющейся наиболее полной из всех классификаций
и объемлющей известные и все мыслимые проекции. В её основе лежит понятие
класса проекций как такой совокупности их, к-рая [после доопределения системы
(2) уравнениями проекций в характеристиках] описывается определённой системой
двух дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка; напр.,
класс конформных проекций, класс проекций Эйлера и др. Системы классов
проекций могут быть эллиптич., гиперболич. и др. типов, в соответствии
с чем и проекции, ими описываемые, относятся к указанным типам, что имеет
фундаментальное значение при изыскании проекций конкретных классов, проявляющееся
в априорном предсказании нек-рых свойств новых проекций. Таким образом,
М. к.- это своеобразный "арсенал" картографич. науки и картогра-фич. производства,
в спец. "рубриках" к-рого находятся определённые классы и др. совокупности
картографич. проекций. Для конкретного производственного задания оттуда
может быть взята нужная проекция (или изыскана новая).


Одной из центральных проблем М. к. является
задача построения наивыгоднейших картографич. проекций, т. е. проекций,
в к-рых искажения в к.-л. смысле сведены к минимуму. Она полностью ещё
не решена даже для хорошо известных классов проекций, хотя частными случаями
этой задачи занимались многие известные учёные (Л. Эйлер,
К.
Гаусс,
П.
Л. Чебышев и др.). Проблема ставится двояко: для заданной области
изыскивают проекции с минимумом искажений либо из всего мыслимого множества
проекций (идеальные проекции), либо из определённого класса (наилучшие
проекции класса). В обоих случаях задача с математич. точки зрения обращается
в проблему приближения функций двух переменных. Но в последней также существуют
различные постановки: обращаясь, напр., к теории наилучших приближений,
говорят о наивыгоднейших проекциях минимаксного типа, а пользуясь теорией
квадратических приближений, исследуют наивыгоднейшие проекции вариационного
типа. Общая проблема построения наивыгоднейших картографич. проекций приводит
к ряду новых экстремальных задач на условный минимакс и др. До конца исследован
лишь случай наилучших конформных проекций. Согласно теореме Чебышева -
Граве, наилучшей конформной проекцией (чебышевской) для данной области
является та, крайняя изокола в к-рой совпадает с контуром изображаемой
территории. В чебышевских проекциях искажения площадей наименее уклоняются
от нуля. Как следствие, в них наименее уклоняются от нуля также модули
логарифмов масштабов длин; отношение наибольшего масштаба к наименьшему
минимально; минимальна также наибольшая кривизна изображений геодезич.
линий; наконец, среднее квадратическое значение логарифмов масштаба длин
также минимально. Такое сочетание различных положительных свойств у чебышевских
проекций характерно для класса конформных проекций как наиболее простого
(но и важного для практики) среди всех др. классов. Примером чебышевской
проекции является стереографич. проекция, к-рая при изображении на плоскости
сферического сегмента и при специальном выборе произвольной постоянной
удовлетворяет условиям теоремы. Методика построения чебышевских проекций
детально разработана и для произвольных территорий. Теорема Чебышева -
Граве справедлива для ряда нек-рых др. классов проекций, неконформных,
но эллиптич. типа.


Лит.: Соловьёв М. Д., Математическая
картография, М., 1969; Мещеряков Г. А., Теоретические основы математической
картографии, М., 1968; его же, О современных задачах математической картографии,
"Тр. Новосибирского ин-та инженеров геодезии, аэрофотосъемки и картографии",
1967, т. 20; К а в р ай с кий В. В., Современные задачи математической
картографии. Тезисы доклада на шестой научной сессии ЛГУ, Л., 1949; Гинзбург
Г. А., О задачах математической картографии в СССР в области мелкомасштабных
карт, "Геодезия и картография", 1958, N° 12; Павлов А. А., Математическая
картография, в сб.: Итоги науки и техники. Картография, т. 5, М., 1972,
с. 53-66. Г.А.Мещеряков.






А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я