ЛИНИЯ

ЛИНИЯ (от лат. linea), геометрическо<
понятие, точное и в то же время доста точно общее определение к-рого пред
ставляет значит, трудности и осущест вляется в различных разделах геометри.?
различно.

1) В элементарной геометрии рассмат
риваются прямые Л., отрезки пря мых, ломаные Л., составленные и; отрезков,
и нек-рые кривые Л. Каж дый вид кривых Л. определяется тем или иным специальным
способом (напр., окружность определяется как геометрич. место точек, имеющих
заданное расстояние R от заданной точки О - центра окружности). Иногда
в учебниках дают определение Л. как границы куска поверхности (поверхность
определяется при этом как граница тела) или как траектории движущейся точки.
Но в рамках элементарной геометрии эти определения не получают отчётливой
формулировки.

2) Представление о Л. как траектории
движущейся точки может быть сделано вполне строгим при помощи идеи параметрического
представления Л. Напр., вводя на плоскости прямоугольные координаты (x,
у), можно параметрически задать окружность радиуса R с центром в начале
координат уравнениями

Когда параметр
t пробегает отрезок О < t =S 2л, точка (x, у) описывает окружность.
Вообще, Л. на плоскости задают параметрическими уравнениями вида

где
- произвольные функции., непрерывные на к.-н. конечном или бесконечном
интервале Д числовой оси if. С каждым значением параметра t (из интервала
Д) уравнения (*) сопоставляют нек-рую точку М, координаты к-рой определяются
этими уравнениями. Л., заданная параметрически уравнениями (*), есть множество
точек, соответствующих всевозможным значениям t из Д , при условии, что
эти точки рассматриваются в определённом порядке, именно: если точка М\
соответствует значению параметра tзначению tti < ?всегда считаются различными.

Аналогично, в трёхмерном пространстве
Л. задаётся параметрически тремя уравнениями вида

где
-произвольные функции, непрерывные на к.-н. интервале. В произвольном топологическом
пространстве Т (к-рое, в частности, может быть плоскостью, поверхностью,
обычным трёхмерным пространством, функциональным пространством и т. п.)
Л. параметрически задают уравнением вида

где <р - функция действительного
переменного г, непрерывная на к.-л. интервале, значения к-рой суть точки
пространства Т. Считают, что два параметрических представления задают о
д- ну и ту же Л., если они определяют один и тот же порядок следования
её точек (в смысле, указанном выше). В анализе и топологии рассматривают
обычно случай, когда область изменения параметра t есть отрезок а - t
< b. В этом случае условие того, чтобы два параметрич. представления

изображали одну и ту же Л., заключается
в существовании непрерывной и строго возрастающей функции

для к-рой

Такое понимание термина "Л." наиболее
естественно в большинстве вопросов анализа (напр., в теории криволинейных
интегралов) и механики. Так как Л. здесь рассматривается вместе с порядком,
в к-ром пробегает её точки переменная точка М при возрастании f, то при
этом естественно возникает вопрос о числе прохождений переменной точки
Л. через к.-л. точку пространства. Кроме простых точек, проходимых один
раз, Л. может иметь кратные точки, к-рые проходятся несколько раз (отвечающие
различным значениям параметра).

Напр., при изменении t в пределах
точка с координатами

описывает строфоиду (см. табл. 1,
рис. 5), попадая в положение х = О, у = 0 два раза при t = - 1 и ? = +
1. 3) Из аналитич. геометрии известен и другой способ задания Л. на плоскости
уравнением

в пространстве - двумя уравнениями

Ограничиваясь случаем плоскости,
укажем лишь, как строится понятие алгебраической Л. (кривой)- Л., определяемой
уравнением

где F(x, у) - целая
алгебраическая функция, т. е. многочлен к.-л. степени п 1. В этом случае
считают, что два многочлена Fi(x, у) и Fи ту же алгебраич. Л. в том и только в том случае, когда существует такая
постоянная с = 0, что выполняется тождественно соотношение

Таким ооразом,
все многочлены, определяющие одну и ту же Л., имеют одну и ту же степень
n, называемую порядком соответствующей Л. Напр., в аналитич. геометрии
принято считать, что уравнение

определяет Л.
второго порядка, а именно, дважды взятую прямую x - у = 0.

В связи с последним примером необходимо
заметить, однако, что часто целесообразно ограничиваться рассмотрением
неприводимых алгебраич. Л., т. е. таких Л., для к-рых многочлен не допускает
представления F = GH, где G и Н - отличные от постоянных многочлены. Далее,
в пункте 4, имеется в виду только этот случай.

Говорят, что точка (хо, г/кривой F(x, у) = 0 имеет кратность т, если разложение F(x, у) по степеням

начинается с членов степени т (по совокупности переменных
). В случае то = 2, т. е. в
случае двойной точки где многоточие означает, что далее следуют члены высших
порядков. При помощи дискриминантаможно
определить тип двойной точки (см. Особые точки).

4) Часто, особенно при изучении алгебраич.
Л., целесообразно стать на точку зрения комплексной проективной геометрии,
т. е. рассматривать, наряду с точками евклидовой действительной плоскости
(или пространства), точки бесконечно удалённые и мнимые. Только при таком
подходе (и надлежащем учёте кратности пересечения) становится верным, напр.,
утверждение, что две Л. порядков п к т пересекаются в тп точках. В случае
т = 1 это приводит к возможности определить порядок Л. как число n точек
её пересечения с прямой.

С проективной точки зрения естественно
задавать Л. на плоскости однородным уравнением

между однородными координатами xi,
xравноправно задание Л. уравнениемсвязывающим
однородные координаты прямых, касающихся Л. Таким образом, наряду с порядком
Л. (степенью уравнения F = 0) естественно возникает понятие класса Л.-
степени уравнения Ф = 0. Класс алгебраич. Л. можно также определить как
число касательных, к-рые можно провести к Л. из произвольной точки. О параметрич.
представлении Л. см. также У пику реальные кривые.

5) Рассмотренные выше (в пунктах
2-4) уточнения и обобщения понятия Л. существенно связаны с соответствующим
алгебраич. и аналитич. аппаратом. В отличие от этого, современная топология
выдвинула задачу уточнения представления о Л. как о множестве точек, независимо
от алгебраич. или аналитич. способов задания этого множества.

Если исходить из параметрич. задания
Л. в виде непрерывной функции
где t пробегает отрезок а ? s; о, но интересоваться только полученным
множеством точек без учёта порядка их следования, то приходят к понятию
<Л.,
сформулированному
в 80-х гг. 19 в. К. Жорданом (см. Жордана кривая). Оказывается, что таким
непрерывным образом отрезка может быть любой локально связный континуум,
в частности квадрат, треугольник, куб и т. п. (см. Пеано кривая). Поэтому
теперь обычно предпочитают говорить не о Л. в смысле Жордана, а о локально
связных, или жор- дановых, континуумах. Взаимно однозначный непрерывный
образ отрезка называют простой дугой, или жор- дановой дугой. Взаимно однозначный
непрерывный образ окружности называют простой замкнутой Л. Простые дуги
и простые замкнутые Л. не исчерпывают, однако, точечных множеств, заслуживающих
наименования Л.

Избегая и чрезмерной общности, и
чрезмерного сужения понятия Л., в современной топологии пользуются понятием
Л., введённым в 1921 П. С. Уры- соном, к-рый определяет Л. (кривую) как
произвольный континуум размерности единица. Континуум имеет размерность
единица, если при любом Е > 0 он может быть представлен в виде суммы конечного
числа замкнутых множеств диаметра, меньшего е, обладающих тем свойством,
что никакие три из этих замкнутых множеств не имеют общей точки (см. также
Размерность в геометрии). Континуум, лежащий на плоскости, будет Л. в смысле
Урысона тогда и только тогда, когда он не содержит внутренних точек. Этим
свойством характеризовал ранее (70-е гг. 19 в.) Л., лежащие на плоскости,
Г. Кантор. Хотя определение Кантора применимо только к Л., лежащим на плоскости,
иногда и общие Л. в смысле Урысона называют "канторовыми кривыми". Л. Н.
Колмогоров.

6) Ещё математики древности изучали
линии второго порядка (эллипс, гиперболу и параболу). Ими же был рассмотрен
ряд отдельных замечательных алгебраич. Л. более высокого порядка, а также
нек-рые трансцендентные (неалгебраические) Л. Система- тич. изучение Л.
и их классификация стали возможными с созданием аналитической геометрии
(Р. Декарт).

Из Л. третьего порядка наиболее известны:
Декартов лист (табл. 1, рис. 1). Ур-ние в прямоугольных координатах: x³
+ У³ - Заху = 0. Впервые кривая определяется в письме Р. Декарта
к П. Ферма в 1638. Полная форма кривой с наличием асимптоты, проходящей
через точки (-а, 0) и (0, -а), была определена позднее (1692) X. Гюйгенсом
и И. Бер- нулли. Название "декартов лист" установилось в нач. 18 в. Локон
Аньези (табл. 1, рис. 2). Пусть имеется круг с диаметром ОС=а и отрезок
BDM, построенный так, что Алгебраические кривые третьего порядка: / - декартов
лист; 2 - локон Аньези; 3 - кубическая парабола; 4 - полукубическая парабола:
5 - строфоида; 6 - циссоида Диоклеса OB : BD = ОС : ВМ; геометрическое
место точек М представляет собой локон Аньези (или верзиеру). Ур-ние в
прямоугольных координатах: у = = а³/(а² + x²).
Исследование этой Л. связано с именем итал. женщины-математика Марии Аньези
(1748). Кубическая парабола (табл. 1, рис. 3). Ур-ние в прямоугольных координатах:
у - x³. Полукубическая парабола (табл. 1, рис. 4), парабола
Н е и л я. Ур-ние в прямоугольных координатах:
Названа по имени англ, математика У. Нейля (1657), нашедшего длину её дуги.

Строфоида (от греч. strophes - кручёная
лента и eidos - вид) (табл. 1, рис. 5). Пусть имеется неподвижная прямая
АВ и точка С вне её на расстоянии СО = а; вокруг С вращается прямая, пересекающая
АВ в переменной точке N. Если от точки N отложить по обе стороны прямой
АВ отрезки NM = NM' = NO, то геометрическое место точек М и М' для всех
положений вращающегося луча CN и есть строфоида. Уравнение в прямоугольных
координатах:
в полярных координатах:
Впервые строфоиду исследовал Э.Торричелли (1645), название было введено
в сер. 19 в. Циссоида Диоклеса (табл. 1, рис. 6) (греч. kissoeides, от
kissos - плющ и eidos - вид), геометрическое место точек М, для к-рых ОМ
= PQ (Р - произвольная точка производящего круга с диаметром а). Уравнение
в прямоугольных координатах: у² - = л;³/(а-х); в
полярных координатах: р = a sin²cp/cos(p. Древние греки рассматривали
только ту часть циссоиды, к-рая находится внутри производящего круга. Вместе
с дугой окружности эта часть образует фигуру, напоминающую лист плюща (откуда
название); наличие бесконечных ветвей было установлено в 17 в. франц. математиком
Ж. П. Ро- бервалем и независимо от него белы, математиком Р. Ф. Слгозом.

Из Л. четвёртого и более высоких
порядков наиболее известны: Кардиоида (от греч. kardi'a - сердце и eidos
- вид) (табл. 2, рис. 1), кривая, описываемая к.-л. точкой М окружности
радиуса а, катящейся без скольжения по неподвижной окружности того же радиуса.
Ур-ние в прямоугольных координатах: (x² + у² - 2ax)²
= = 4а (х² + у²); в полярных координатах: р = 2й
(1 + cos ф).

Конхоида Ником еда (от греч. konchoeides
- похожий на раковину) (табл. 2, рис. 2), кривая, получающаяся при увеличении
или уменьшении каждого радиус-вектора точек данной прямой на одну и ту
же величину d, т. о., ОМ = ОР - d или ОЛ-Г = ОР+ d. Если расстояние от
полюса О до данной прямой равно а, то ур-ние в прямоугольных координатах:
(х-а)² (x² + z/²)-d²x²
= = <0, в полярных координатах: р = = а/cos ф ± d. Впервые рассматривалась
древнегреческим геометром Нико- медом (около 250-150 до нашей эры), который
использовал её для решения задач о трисекции угла и удвоении куба.

Лемниската Бернулли (табл. <2,
рис.
3)(от naT.lemniscatus, буквально- украшенный лентами), кривая, имеющая
форму восьмёрки; геометрическое место точек, произведение расстояний к-рых
от фокусов Ft (- а, 0) и F2. Ур-ние
в прямоугольных координатах: (х² + у²)²
- 2а² (x² - г/²) =0, в полярных координатах:
р² = 2а² cos 2<p. Впервые рассматривалась Я. Бернулли
(1694). Лемниската является частным случаем овалов Кассини и синус-спиралей.

Овалы Декарта (табл. .< рис. 4),
геометрические места точек М расстояния к-рых от двух фиксированны точек
Fi и Fпостоянную сумму с, то есть mMFi H + nMFi = с. Ур-ние в прямоугольны координатах:

где
г, Ink - нек-рые постоянные, свя занные с параметрами т, п и d; в полярных
координатах-

Помимо фокусов Fi и Fимеется и тре тий фокус Fa, равноправный с каждьп из них. При т = <1,
п
= 1 овал Декар та превращается в эллипс; при т = 1 i п =-1 -в гиперболу.
Частным случа ем овала является также улитка Паска ля. Овалы впервые исследовались
Р. Де картом (1637).

Овалы Кассини (табл. 2 рис. 5), геометрические
места точек М, про изведение расстояний к-рых от двух дан ных точек постоянно.
Пусть Fi и F: точки на оси абсцисс, FiFMFi-MFi = а². Ур-ние в прямоугольных координатах:

Если
то овал Кассини - выпуклая кривая; если
тс кривая имеет вид овала с двумя утолщениями; приа=Ь овал Кассини превращается
в лемнискату, наконец, при Ь>а овал Кассини является двусвязной кривой.
Впервые рассмотрена Дж. Кассини (17 в.).

Алгебраические кривые четвёртого
и более высоких порядков: /- кардиоида; 2 - конхоида Никомеда; 3 - лемниската
Бернулли; 4 - овалы Декарта: у - овалы Кассини; 6 - улитка Паскаля; 7 -
астроида; 8 - розы; 9 - синус-спираль.

Таблица 2 Улитка Паскаля (табл. 2,
рис. 6), геометрическое место точек М и М', расположенных на прямых пучка
(центр к-рого О лежит на окружности радиуса R) на расстоянии а по обе стороны
от точки Р пересечения прямых с окружностью; т. о., РМ = РМ' = а. Ур-ние
в прямоугольных координатах:

в полярных координатах:
При а = 2R петля стягивается в точку, в этом случае улитка Паскаля превращается
в кардиоиду. Назв. по имени франц. учёного Э. Паскаля (1588-1651), впервые
изучавшего её.

Астроида (от греч. astron - звезда
и eidos -вид) (табл. 2, рис. 7), кривая, описываемая точкой подвижной окружности,
к-рая касается изнутри неподвижной окружности вчетверо большего радиуса
и катится по ней без скольжения. Ур-ние в прямоугольных координатах:
где а - радиус неподвижной окружности. Астроида - линия 6-го порядка.

Розы (табл. 2, рис. 8), кривые, полярное
ур-ние к-рых: р = а sin тер; если т - рациональное число, то розы - алгебраич.
Л. чётного порядка. При т нечётном роза состоит из т лепестков, при т чётном
- из 2т лепестков; при т рациональном лепестки частично покрывают друг
друга.

Синусоидальные спирали, синус-спирали
(табл. 2, рис. 9), кривые, полярное ур-ние к-рых р™ = а"'созгаср; если
т - рациональное число, то эти Л.- алгебраические. Частные случаи: т =
1 - окружность, т = - 1 - прямая, т = 2 - лемниската Бернулли, т = - 2
- равнобочная гипербола, т = Чг - кардиоида, т = = - Чг - парабола. При
целом т > О Л. состоит из т лепестков, каждый из к-рых лежит внутри угла,
равного я/т, при рациональном т > О лепестки могут частично покрывать друг
друга; если т < 0, то Л. состоит из т бесконечных ветвей.

Большой интересный класс составляют
трансцендентные Л. К ним относятся графики тригонометрических функций (синусоида,
тангенсоида), логарифмической функции, показательной функции, гиперболических
функций, а также следующие Л.:

Квадратриса (табл. 3, рис. 1). Пусть
прямая MN равномерно вращается против часовой стрелки вокруг точки О, а
прямая А'В' равномерно движется справа налево, оставаясь параллельной ОС.
Далее, пусть за время движения А'В' от АВ до ОС прямая MN поворачивается
на прямой угол и переходит из положения ОА = г в положение ОС. Геометрическое
место точек Р пересечения прямых MN и А'В' и есть квадрат- риса. Ур-ние
в прямоугольных координатах:
в полярных ординатах:Часть
квадрат- рисы, заключённая в квадрате ОАВС, была известна древнегреч. математикам.
Открытие квадратрисы приписывается Гиппию Элидскому (5 в. до н. э.), использовавшему
её для решения задачи о трисекции угла. Динострат (4 в. до н. э.) с помощью
квадратрисы выполнил квадратуру круга.

Трактриса (табл. <3, рис. 2),
кривая, для к-рой длина отрезка касательной от точки касания М до точки
Р пересечения с данной прямой есть величина постоянная, равная а. Ур-ние
в прямоугольных координатах:

Цепная линия (табл. 3, рис. 3), кривая,
форму к-рой принимает гибкая однородная и нерастяжимая тяжёлая нить, концы
к-рой закреплены в двух точках. Ур-ние в прямоугольных координатах:

Циклоида (от греч. kykloeides - кругообразный)
(табл. 3, рис. 4), кривая, к-рую описывает точка Р, расположенная на расстоянии
а от центра круга радиуса г, катящегося без скольжения по прямой линии.
Если Р лежит на окружности круга (г = а), получают обыкновенную циклоиду
(рис. 4а), если она лежит внутри круга (т> а),- укороченную циклоиду (рис.
46), если точка вне круга (т < а), - удлинённую циклоиду (рис. 4в).
Две последние Л. называют трохоид а- м и. Ур-ние в параметрич. форме:

Среди трансцендентных Л. особый класс
составляют спирали (от греч. speira, букв.- витое), плоские кривые линии,
бесчисленное множество раз обходящие нек-рую точку, с каждым обходом приближаясь
к ней или с каждым обходом удаляясь от неё. Если выбрать эту точку за полюс
системы координат, то полярное ур-ние спирали
таково, что
или

при всех ф. Из спиралей наиболее
известны:

Архимедова спираль (табл. <3, рис.
5), кривая, описываемая точкой, равномерно движущейся по прямой в то время,
как эта прямая равномерно вращается в плоскости вокруг точки О. Ур-ние
в полярных координатах: р = аф, где а - постоянная. Эта спираль изучалась
Архимедом (3 в. до н. э.) в связи с задачами трисекции угла и квадратуры
круга.

Гиперболическая спираль (табл. 3,
рис. 6), кривая, описываемая точкой М, движущейся по вращающейся прямой
ОА, так, что её расстояние от центра вращения меняется обратно пропорционально
углу поворота. Уравнение в полярных координатах:

Жезл (табл. 3, рис. 7), кривая, ур-ние
к-рой в полярных координатах:
Каждому значению ф соответствуют два значения р - положительное и отрицательное.
Кривая состоит из двух ветвей, каждая из к-рых асимптотически приближается
к полюсу.

Логарифмическая спираль (табл. <3,
рис.
8), кривая, уравнение которой в полярных координатах:
Была известна многим математикам 17 в.

Спираль Корню (табл. 3, рис. 9),
клотоида, кривая, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала
координат. Ур-ние в параметрич. форме:

Трансцендентные кривые:/ - квадратриса;
2 - трактриса; 3 - цепная линия; 4 - циклоида; 5 - архимедова спираль;
6 - гиперболическая спираль; 7 - жезл; 8 - логарифмическая спираль; 9 -
спираль Корню; 10 - si-ci-спираль.

Таблица 3 Циклоидальные кривые: 1
а, б - гипоциклоиды; 2а, б - эпициклоиды; 3d •- удлинённая гипоциклоида;
Зб - укороченная гипоциклоида; 4а - удлинённая эпициклоида; 46 - укороченная
эпициклоида.

Использовалась франц. физиком М.
А. Корню (1874) для графич. решения нек-рых задач дифракции света.

Si-ci-спираль (табл. 3, рис. 10),
кривая, параметрическое ур-ние к-рой имеет вид



si (S) и ci (t) - интегральный синус'
и интегральный косинус.

К циклоиде по способу построения
примыкает класс циклоидальных кривых, к-рые могут быть как алгебраическими,
так и трансцендентными. Среди них: Гипоциклоида (табл. 4, рис. 1а, б),
кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по другой
окружности внутри её. Ур-ние в параметрич. форме:



где А - радиус неподвижной, а а
- подвижной окружности. Вид кривой зависит от отношения А/а.

Эпициклоида (табл. 4, рис. 2 а,б),
кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по другой
окружности вне её. Ур-ние получится из ур-ния гипоциклоиды заменой а на
-а.

Удлинённая гипоциклоида (эпициклоида),
кривая, описываемая точкой, лежащей вне окружности, к-рая катится без скольжения
по другой окружности внутри (вне) её (табл. 4, рис. За, 4а). Аналогично
определяется укороченная гипоциклоида (эпициклоида) (табл. 4, рис 36, 46).
Удлинённые и укороченные гипоциклоиды и эпициклоиды иногда паз. гипо- и
эпитрохоидами. В.И.Битюцков, Ю.А.Горькое, А.Б.Иванов.

Лит.: Маркушевич А. И., Замечательные
кривые, 2 изд., М.- Л., 1952; С а в е л о в А. А., Плоские кривые. Систематика,
свойства, применения (Справочное руководство), М., 1960; Пархоменко А.С.,
Что такое линия, М., 1954; П о г о- р е л о в А. В., Дифференциальная геометрия,
5 изд., М., 1969; У о к е р А., Алгебраические кривые, пер. с англ., М.,
1952; L о- r i a G., Spezielle algebraische und transzen- dente ebene Kurven.
Theorie und Geschichte, 2 Auf!., Bd 1-2, Lpz.- В., 1910-11.