ЛИНЕЙЧАТАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ЛИНЕЙЧАТАЯ ГЕОМЕТРИЯ раздел
геометрии, в к-ром рассматриваются в качестве элементов пространства прямые
линии. Как известно, прямая в пространстве определяется четырьмя постоянными
- коэффициентами а, Ъ, р, q в уравнениях x = az + р, у = bz 4- q. Следовательно,
величины а, о, р, q можно рассматривать как координаты прямой. Если эти
координаты являются функциями одного, двух или трёх параметров, то соответствующие
совокупности прямых образуют линейчатые поверхности и т. н. конгруэнции
и комплексы прямых. Эти гео- метрич. образы и являются объектом изучения
Л. г. Примером линейчатой поверхности может служить однополост- ный гиперболоид,
примером конгруэнции - совокупность общих касательных к двум к.-л. поверхностям,
примером комплекса прямых - совокупность касательных к одной к.-л. поверхности.
Для изучения линейчатых поверхностей, конгруэнции и комплексов прямых с
единой точки зрения в Л. г. вводятся так называемые линейные однородные
координаты прямой. Пусть заданы две точки MI(XI, г/i, Zi) и Mг/

ми прямой, проходящей через эти точки,
называют шесть чисел, пропорциональных
(или равных) числам:

Числа
являются компонентами вектора
а- компоненты
момента этого вектора относительно начала координат. Легко проверить, что
числа удовлетворяют соотношению

Таким
образом, каждой прямой соответствуют шесть определяемых с точностью до
постоянного множителя чисел |i, удовлетворяющих соотношению (1), и обратно,
числа g. (не все равные нулю), связанные условием (1), определяют единственным
образом нек-рую прямую (как её координаты в указанном выше смысле).

Одно однородное линейное уравнение

определяет линейный комплекс - совокупность
прямых, заполняющих пространство так, что через каждую точку пространства
проходит пучок прямых, лежащих в одной плоскости. Таким образом, каждой
точке ("полюсу") пространства можно поставить в соответствие плоскость
("полярную плоскость"), содержащую все прямые комплекса, проходящую через
эту точку. Это соответствие называют нулевой системой; оно аналогично соответствию
полюсов и полярных плоскостей поверхности 2-го порядка. Если полярные плоскости
всех точек пространства проходят через одну прямую (о с ь), то комплекс
состоит из всех прямых, пересекающих ось; его называют специальным линейным
комплексом. В этом случае коэффициенты уравнения (2) удовлетворяют условию

Система
двух однородных линейных уравнений вида (2) определяет линейную конгруэнцию
- совокупность прямых, пересекающих две данные прямые (к-рые могут быть
и мнимыми). Три однородных линейных уравнения определяют линейчатую поверхность,
являющуюся в этом случае либо однополост- ным гиперболоидом, либо гиперболич.
параболоидом.

Линейные однородные координаты прямой
были введены Ю. Плюккером в 1846. Он же подробно изучил теорию линейного
комплекса. В дальнейшем Л. г. разрабатывалась в работах Ф.Клейна и рус.
математика А. П. Котельнико- ва. Дифференциальная геометрия конгруэнции,
начатая Э. Куммером в 1860, получила большое развитие в трудах итал. математиков
Л. Бианки, Г. Сан- ниа и франц. математика А. Рибокура. На основе созданного
в 1895 Котельни- ковым "винтового" исчисления сов. математиком Д. Н. Зейлигером
развита теория линейчатых поверхностей и конгруэнции. Проективная теория
конгруэнции построена в 1927 сов. математиком С. П. Финиковым.

Лит.: Зейлигер Д. Н., Комплексная
линейчатая геометрия. Поверхности и конгруэнции, Л.- М., 1934; Фиников
С. П., Теория поверхностей, М.- Л., 1934; его ж е, Проективно-дифференциальная
геометрия, М.- Л., 1937; его же, Теория конгруэнции, М.- Л., 1950; Каган
В. Ф., Основы теории поверхностей в тензорном изложении, ч. 1 - 2, М. -
Л., 1947 - 48; Клейн ф., Высшая геометрия, пер. с нем., М.- Л., 1939; Zindler
K.,Lini- engeometrie, Bd 1 - 2, Lpr., 1902-06. Э. Г. Лозняк.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я