ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ

ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ уравнение,
в к-рое неизвестные входят в 1-й степени (т. е. л и н е и н о) и отсутствуют
члены, содержащие произведения неизвестных. Несколько Л. у. относительно
одних и тех же неизвестных образуют систему Л. у. Решением системы Л. у.
называют набор чисел cвсе уравнения в тождества после подстановки их вместо соответствующих неизвестных.
Система Л. у. может иметь как одно единственное решение, так и бесконечное
множество решений (неопределённая система); может также оказаться, что
система Л. у. не имеет ни одного решения (несовместная система).

Чаще всего встречается случай, когда
число уравнений совпадает с числом неизвестных. Одно Л. у. с одним неизвестным
имеет вид:

решением его при а не равно 0 будет
число b/a. Система двух Л. у. с двумя неизвестными имеет вид:

где аи, а!ас помощью определителей:

здесь предполагается, что стоящий
в знаменателе определитель D = г|^и д¹² отличен от
нуля. В числителях стоят определители, получающиеся из D заменой в нём
одного столбца столбцом свободных членов bi, Ьдля первого неизвестного xi заменяется первый столбец, а в выражении для
второго неизвестного Х2 - второй.

Аналогичное правило применимо и при
решении любой системы n Л. у. с п неизвестными, т. е. системы вида:

здесь a1,2,...,n) - произвольные числовые коэффициенты; числа Ь\, &Ьп называют обычно свободными членами. Если определитель D - \ui!\ системы
(2), составленный из коэффициентов atj при неизвестных, отличен от нуля,
то решение получается следующим образом: ?-е (k = 1,2,..., n) неизвестное
хь равно дроби, в знаменателе к-рой стоит определитель D, а в числителе
- определитель, полученный из D заменой в нём столбца из коэффициентов
при отыскиваемом неизвестном (ft-го столбца) столбцом свободных членов
bi, Ьг,...,Ь„. Если D = 0, то система (2) либо не имеет ни одного решения,
либо имеет бесконечное множество решений.

Если все bi = 0 (систему Л. у. называют
в этом случае однородной), то при D ?± 0 решение системы (2) будет нулевым
(т. е. все xi, = 0). В практике часто, однако, встречаются однородные системы
Л. у. с числом уравнений на 1 меньше числа неизвестных, т. е. системы вида:

Решение такой системы неоднозначно;
из неё, как правило, можно найти только отношение неизвестных:

где Dk - умноженный на (-1)* определитель,
полученный из матрицы коэффициентов аи системы (3) вычёркиванием fe-ro
столбца (это правило применимо только тогда, когда хотя бы один из определителей
DI отличен от 0).

Впервые решение систем (2) было получено
Г. Крамером в 1750; правило для нахождения решения этих систем носи! до
сих пор название правила Крамера. Построение полной теории систем Л. у.
было закончено только спустя 100 лет Л. Кронекером.

Общая система т Л. у. с n неизвестными
имеет вид :

Вопрос о совместности системы Л.
у. (4), т. е. вопрос о существовании решения, решается сравнением рангов
матриц

И

Если ранги совпадают, то система
совместна; если ранг матрицы В больше ранга матрицы Л,то система несовместна
(теорема Кронекера - Капелли). В случае совместности системы, её решения
можно найти следующим образом. Найдя в матрице А отличный от нуля минор
наибольшего порядка г, отбрасывают m - г уравнений, коэффициенты к-рых
не вошли в этот минор (отбрасываемые уравнения будут следствиями оставшихся,
и поэтому их можно не рассматривать); в оставшихся уравнениях переносят
направо те неизвестные, коэффициенты к-рых не вошли в выбранный минор (свободные
неизвестные). Придав свободным неизвестным любые числовые значения, получают
систему из г уравнений с г неизвестными, к-рую можно решить по правилу
Крамера. Найденные значения г неизвестных вместе со значениями свободных
неизвестных дадут нек-рое ч а- с т н о е (т. е. одно из многих возможных)
решение системы (4). Можно, не давая свободным неизвестным конкретных значений,
непосредственно выразить через них остальные неизвестные. Так получается
общее решение, т. е. решение, в к-ром неизвестные выражены через параметры;
давая этим параметрам произвольные значения, можно получить все частные
решения системы.

Однородные системы Л. у. можно решать
таким же способом. Решения их обладают тем свойством, что сумма, разность
и вообще любая линейная комбинация решений (рассматриваемых как п- мерные
векторы) также будет решением системы. Другими словами: совокупность всех
решений однородной системы Л. у. образует линейное подпространство n-мерного
векторного пространства. Систему решений, к-рые сами линейно независимы
и позволяют выразить любое другое решение в виде их линейной комбинации
(т. е. базис линейного подпространства), называют фундаментальной системой
решений однородной системы Л. у.

Между решениями системы Л. у. (4)
и соответствующей однородной системы Л. у. (т. е. уравнений с теми же коэффициентами
при неизвестных, но со свободными членами, равными нулю) существует простая
связь: общее решение неоднородной системы получается из общего решения
однородной системы прибавлением к нему к.-л. частного решения неоднородной
системы Л, у.

Большой наглядности изложения в теории
Л. у. можно добиться, используя геометрич. язык. Привлекая при этом к рассмотрению
линейные операторы в векторных пространствах (рассматривая уравнения вида
Ах = Ь, А - линейный оператор, х и Ь - векторы), легко установить связь
рассматриваемых алгебраич. Л. у. с Л. у. в бесконечномерных пространствах
(системы Л. у. с бесконечным числом неизвестных), в частности с Л. у. в
функциональных пространствах, напр, линейные дифференциальные уравнения,
линейные интегральные уравнения (см. Интегральные уравнения) и др.

Применение правила Крамера при практич.
решении большого числа Л. у. может встретить значит, трудности, т. к. нахождение
определителей высокого порядка связано со слишком большими вычислениями.
Были поэтому разработаны различные методы численного (приближённого) решения
систем Л. у. (см. Численное решение уравнении).

Лит.: Энциклопедия элементарной математики,
под ред. П. С. Александрова [и др.], кн. 2, М.- Л., 1951; Фаддеев Д. К.,
Фаддеева В. Н-, Вычислительные методы линейной алгебры, 2 изд., М.- Л.,
1963.

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я